Задача о работе переменной силы на криволинейном участке пути

Задача о работе переменной силы на криволинейном участке пути

Пусть на плоскости задана кривая линия.

Предположим, что материальная точка M(x;y) перемещается по дуге PQ от точки P до точки Q под действием переменной силы . Сила изменяет, вообще говоря, и свою величину, и своё направление в зависимости от перемещения точки M, т.е., в конечном итоге, в зависимости от координат (x;y). Требуется вычислить работу A переменной силы на криволинейном участке пути. Координаты вектора обозначаются обычно через . Очевидно, координаты вектора будут зависеть от положения точки M, т.е. от координат (x;y): . Будем предполагать, что эти функции непрерывны в некоторой области D, содержащей линию L. Очевидно:

. (1)

Из формулы (1) следует, что вектор есть переменный вектор, величина и направление которого зависят от двух переменных x и y.

Для решения задачи разделим дугу PQ на n произвольных частей. Рассмотрим i–ую часть дуги PQ: , , - вектор перемещения на i–ом участке пути. Очевидно, вектор имеет две координаты , , :

. (2)

Далее будем считать, что на i–ом участке пути сила является величиной постоянной, равной значению в точке (в силу малости i–го участка пути). Тогда из формулы (1) следует, что

. (3)