ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(1 курс, зимняя сессия 2021-2022 гг.)

1. Что называется матрицей размера m×n? В каком месте матрицы A= (a_ij) расположен элемент a_ij Какая матрица называется квадратной? Может ли матрица состоять из одной строки? Может ли матрица состоять из одного столбца? Может ли матрица состоять из одного элемента?

2. Какая матрица называется диагональной? Может ли какой-нибудь элемент главной диагонали a_ii диагональной матрицы быть равным нулю?

3. Какая матрица называется верхней треугольной? Какая матрица называется нижней треугольной? Какая матрица называется единичной? Какая матрица называется нулевой?

4. Могут ли быть равны квадратные матрицы, одна из которых второго порядка, а другая ― третьего? Дайте определение суммы матриц. Можно ли найти сумму двух матриц, одна из которых имеет размер 3×4, а другая ― 4×3?

5. Дайте определение произведение матрицы на действительное число. Дайте определение транспонирования матрицы. Дайте определение произведения матриц. Перечислите свойства произведения матриц.

6. Существует ли произведение матриц AB, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица B ― 4×2? Существует ли произведение матриц BA, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица B ― 4×2?

7. Дайте определение матрицы, обратной к квадратной матрице. Какая матрица называется невырожденной? Сформулируйте необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы. В чем состоит метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы?

8. Дайте определение определителя квадратной матрицы второго порядка. Дайте определение определителя квадратной матрицы третьего порядка. Чему равен определитель треугольной матрицы? Чему равен определитель диагональной матрицы?

9. Перечислите свойства определителей. Дайте определение минора M_ij элемента a_ij. Дайте определение алгебраического дополнения A_ij элемента a_ij.

10. Сформулируйте следствие из теоремы Лапласа (разложение определителя по строке или столбцу).

11. Дайте определение ранга матрицы. Перечислите свойства ранга матрицы. В чем состоит метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы?

12. Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды. Что такое матрица системы линейных уравнений? Что такое расширенная матрица системы линейных уравнений? Что называется решением системы линейных уравнений?

13. Какая система линейных уравнений называется однородной? Какая система линейных уравнений называется неоднородной? Какая система линейных уравнений называется совместной? Несовместной? Какая система линейных уравнений называется определенной? Неопределенной?

14. Может ли система линейных уравнений, состоящая из семи уравнений с пятью неизвестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с пятью неизвестными?

15. Перечислите методы решения систем линейных уравнений. В чем состоит метод Гаусса решения систем линейных уравнений?

16. В чем состоит метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений?

17. В чем состоит метод Крамера решения систем линейных уравнений?

18. Дайте определение вектора. Что такое размерность вектора? Какой вектор называется нулевым? Когда два вектора называются равными?

19. Могут ли быть равными два вектора, один из которых четырехмерный, а другой пятимерный?

20. Дайте определение суммы двух векторов. Дайте определение разности двух векторов. Правило треугольников. Правило параллелограмма.

21. Как найти длину вектора на плоскости? В пространстве? Как найти координаты вектора через координаты начала и конца.

22. Дайте определение произведения вектора на число. Какие векторы получаются из вектора ā умножением на числа 0 и -1? Перечислите свойства линейных операций над векторами.

23. Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

24. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения векторов в координатах.

25. Ориентация векторов в пространстве. Левая и правая тройки векторов.

26. Дайте определение векторного произведения двух векторов. Его свойства. Выражение в.п. векторов в координатах. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

27. Дайте определение смешанного произведения двух векторов. Его свойства. Выражение смешанного произведения векторов в координатах. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

28. Сформулируйте условие ортогональности векторов. Сформулируйте условие коллинеарности векторов.

29. Простейшие задачи аналитической геометрии. Как найти расстояние между точками на плоскости, если известны их координаты? Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка

30. Напишите общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи.

31. Уравнение прямой в «отрезках». Напишите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

32. Напишите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Напишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

33. Как найти угол между прямыми на плоскости, если известны их угловые коэффициенты?

34. Сформулируйте условие параллельности прямых на плоскости. Сформулируйте условие перпендикулярности прямых на плоскости.

35. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости ? Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой.

36. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

37. Напишите общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Что называется нормальным вектором плоскости в пространстве?

38. Напишите уравнение плоскости в отрезках. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

39. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

40. Угол между 2 плоскостями в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей в пр-ве.

41. Напишите уравнение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Параметрическое уравнение прямой в пространстве..

42. Напишите уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

43. Прямая и плоскость в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пр-ве.

44. Функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

45. Окрестность точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы. Геометрическая интерпретация предела.

46. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы.

47. .Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

48. Понятие непрерывности функции. Классификация точек разрыва.

49. Дифференциальное исчисление. Задача о касательной. Уравнение касательной к кривой. Производная функции, ее механический и геометрический смысл.

50. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

51. Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица). Дифференциал функции.

52. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

53. Правило Лопиталя. Применение к раскрытию неопределенностей.

54. Исследование функций с помощью производной (возрастание и убывание, экстремумы). Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

55. Исследование функций с помощью второй производной (выпуклость графика функции, точки перегиба). Общая схема исследования функции и построения графика.