Элементы алгебры логики.

Тема: «Представление чисел в памяти компьютера»

Любая информация в памяти компьютера представляется с помощью нулей и единиц, то есть с помощью двоичной системы счисления. Первоначально компьютеры могли работать только с числами. Теперь это числа, тексты, графические объекты, видеоинформация.

Работа с данными сводится любого типа к обработке двоичных чисел – чисел, записываемых с помощью двух цифр – 0 и 1.

В компьютере различаются два типа числовых величин: целые числа и вещественные числа.

Различаются способы представления в памяти компьютера.

Они называются:

1. форма с фиксированной точкой (применяется к целым числам)

2. форма с плавающей точкой (применяется к вещественным числам).

В отдельной части памяти компьютера хранится информация. Данная часть памяти компьютера будем называть ячейкой. Минимальный размер ячейки, где может храниться наша информация – 1 байт или 8 бит.

Давайте попробуем представить число 15₁₀ в двоичной системе счисления, для того чтобы дальше мы могли с вами представить данное число, как будет выглядеть число в памяти компьютера. 15₁₀=1111₂

А теперь запишем это число в восьми разрядную сетку ячейки. Запись в ячейку мы начинаем с конца, то есть последнюю цифру нашего числа мы записываем в последний разряд ячейки, потом предпоследнюю цифру в предпоследний разряд ячейки и таким образом пока не закончится наше число. 0 0 0 0 1 1 1 1

Мы с вами видим при записи это числа у нас возникли проблема в том, что наше полученное число состоит из четырех цифр, а нам надо записать восьмиразрядное число, пустые разряды мы заполняем нулями.

Для представлении со знаком самый старший (левый) бит отводиться под знак числа, остальные разряды – под само число. Если число положительное, то знаковый разряд помещается 0, если отрицательное – 1.

Также максимальное целое положительное число помещающееся в восьми разрядную сетку равно 127.

Мы рассмотрели как представляются целые положительные числа, теперь пришло время рассмотреть целые отрицательные числа.

Для того чтобы представить целые отрицательные числа используется дополнительный код.

Для того чтобы получить дополнительный код, нужно знать следующий алгоритм:

1. записать внутреннее представление соответствующего ему положительного числа

2. записать обратный код полученного числа заменой во всех разрядах 0 на 14, 1 на 0.

3. к полученному числу прибавить 1.

Пример: Определим внутреннее представление числа -15₁₀ в восьмиразрядной сетки.

1. Запишем внутреннее представление числа 15₁₀ – 00001111

2. Запишем обратный код – 11110000

3. К полученному числу прибавим 1 – 11110001

11110001₂ это и есть представление числа -15₁₀

Мы с вами учились записывать числа в восьмиразрядную сетку, но бывают и 16-разрядной сетки и 32-разрядной сетки.

В восьмиразрядной сетки можно получить числа диапазоном -127<=X<=127.

В 16-рядной сетки можно получить числа диапазоном -32768<=X<=32768

В 32-разрядной сетки можно получить числа диапазоном

- 2147483648<=X<=2147483647

Тогда, как форма с плавающей запятой используется для представления вещественных чисел.

В математике вещественные числа называются действительными числами.

Давайте вспомним из курса математики, а что относится к вещественным числам? (целый и дробные числа).

Всякое вещественное число X записывается в виде произведения мантиссы m и основания системы счисления p в некоторой целой степени n, которую называют порядком.

X=m*p_n Пример. Число 15, 324 можно записать как 0,15324*10₂

.Здесь мантиссой будет – 0,15324, а степенью – 2.

Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместится десятичная запятая в мантиссе.

Чаще всего для хранения вещественных чисел в памяти компьютера используется 16-разрядная

сетка и 32-разрядная сетка. В первом случае это будет с обычной точностью, во - втором случае с удвоенной точностью. В ячейке хранится два числа в двоичной системе счисления: мантисса и порядка.

Элементы алгебры логики.

Алгебра логики – математический аппарат, с помощью которого записывают, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является английский математик Джорж Буль, в честь которого алгебра логики называется Булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например: предложение Москва – Столица России – истинное, Рим – столица Франции – ложное.

Конечно, не всякое предложение является логическим высказыванием.

Информатика – интересный предмет – тоже не высказывание, потому что нельзя однозначно сказать истинное оно или ложное - для одних интересный для других нет.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, будем назначать им имена (большие буквы), а, чтобы обозначать значение высказываний (истина или ложь) воспользуемся алфавитом двоичной системы счисления 1- истина, 0 - ложь.

Высказывания, составленные из других высказываний с помощью логических связок, будем называть составными высказываниями.

Операция, выражаемая словом "НЕ", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).

Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. НЕ (отрицание)

Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "^." (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. конъюнкция ( , &.)

Операция, выражаемая связкой "или" (в не исключающем смысле этого слова), называетсядизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. дизъюнкция(v или +)

Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Импликация ( )

Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Эквиваленция ( или ~.)

Д/з : сделать конспект по теме, Перевести число в двоичную систему счисления числа: 102_10,99₁₀

Перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную: 10111₂ , 11101_2.

Привести пример истинных высказываний (2 шт), ложных высказываний (2 шт), предложений, не являющимися высказываниями.