ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ. Урок Производные основных элементарных функций. Повторить. Таблица производных элементарных функций

1)   2)         3)         4) 10x 5) 18 6)

Повторить

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

В этом равенстве – функция, от которой мы берем производную,

– функция, которая получается в результате этой операции.

Элементарные функции – степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и их различные комбинации.

2. Таблица производных элементарных функций

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

2. Производная степенной функции:

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1.

2.

3.

3. Производная показательной функции:

Пример.

Частный случай этой формулы:

4. Производная логарифма:

Частный случай этой формулы:

5. Производные тригонометрических функций:

6. Производные обратных тригонометрических функций:

Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

Таким образом:

Пример 2.Найти производную функции:

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени:

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

Пример 3. Найти производную функции

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

Теперь легко найти производную:

Пример 4. Найти производную функции:

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции по формуле производной дроби:

Выполнить задания.

№1. Найти производные функций:

1)  2)    3)    4)     5)

6)     7)       8)           9)

№2. Найти значение производной функции в точке

1)  в точке        2)

3)                4)     5)