Тема урока «Экстремумы функции» Математика 11 класс

Тема урока «Экстремумы функции» Математика 11 класс

Цель: научиться применять производную к исследованию свойств функции.

Задачи: ввести понятие экстремумов функции; научиться применять производную для нахождения экстремумов функции.

Ход урока

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОВТОРЕНИЕ

Знаем:

- Если

( )

3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Продолжаем учиться применять производную к исследованию функции.

Определение. Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называются критическими (стационарными) точками.

Определение. 1) Критическая точка, в которой производная меняет знак с «+» на «-», называется точкой максимума функции f(x);

2) Критическая точка, в которой производная меняет знак с «-» на «+», называется точкой минимума функции f(x);

3) Точки минимума и точки максимума функции f(x) называются точками экстремума.

Ниже показано, как это выглядит на графиках

На графике в точке х₀ производная меняет знак с «+» на «-», значит точка х₀ – точка максимума (горка). В этой точке функция переходит от возрастания к убыванию.

На графике в точке х₀ производная меняет знак с «-» на «+», значит точка х₀ – точка минимума (ямка). В этой точке функция переходит от убывания к возрастанию.

На графике в точках х₀ и х₁ производная функции равна нулю. Это критические точки. Они же будут точками экстремума, так как в этих точках функцию переходит от возрастания к убыванию и наоборот: х₀ - точка максимума (горка), х₁ – точка минимума – (ямка).

АЛГОРИТМ нахождения точек экстремума функции:

1) Найти производную функции;

2) Решить уравнение: , то есть найти критические точки х₁, х₂ и т.д.;

3) Составить схему (смотри выше): методом пробной точки определить знак производной на каждом интервале, и стрелочками показать возрастание или убывание функции на каждом интервале; определить вид экстремума (точка минимума или точка максимума).

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Пример 1. Найти точки экстремума функции .