Механика твердого тела.. Законы сохранения.

7. Механика твердого тела.

Законы сохранения.

Момент импульса твердого тела.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z, или проекция вектора момента импульса на координатную ось Z, совпадающую с осью вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси вращения на проекцию вектора угловой скорости на координатную ось Z.

7.1 Вычислите величину момента импульса тонкого проволочного кольца, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Масса кольца, его радиус и угловая скорость равны соответственно 0,1 кг; 0,1 м; 200 рад/с.

7.2 Однородный стержень длиной 0,9 м и массой 1 кг вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 100 рад/с вокруг вертикальной оси. Ось вращения проходит через точку стержня, которая делит длину стержня в отношении 1 к 2. Вычислите величину момента импульса стержня.

Сохранение момента импульса системы твердых тел.

Для того чтобы момент импульса системы тел относительно некоторой оси сохранялся, необходимо чтобы суммарный момент внешних сил относительно этой оси был равен нулю.

7.3 Однородный цилиндр радиуса R и массы m₁ может вращаться без трения вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости рис. Пуля массы m₂, летящая горизонтально со скоростью попадает в боковую поверхность цилиндра, останавливается (см. рис.) и падает вниз. Найдите величину w угловой скорости, которую получит цилиндр. Прицельное расстояние d считайте заданным.

7.4 Однородный цилиндр радиуса R и массы m₁ может вращаться без трения вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости рис. Пуля массы m₂, летящая горизонтально со скоростью попадает в боковую поверхность цилиндра, застревает в этой поверхности, практически не углубившись в цилиндр (см. рис.). Найдите величину w угловой скорости, которую получит цилиндр. Прицельное расстояние d считайте заданным.

7.5 Однородный цилиндр радиуса R и массы m₁ может вращаться без трения вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости рис. Пуля массы m₂, летящая горизонтально со скоростью попадает в боковую поверхность цилиндра и застревает внутри цилиндра в точке А (см. рис.). Найдите величину w угловой скорости, которую получит цилиндр. Прицельное расстояние d считайте заданным.

7.6 Однородный цилиндр радиуса R и массы m₁ может вращаться без трения вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости рис. Пуля массы m₂, летящая горизонтально со скоростью попадает в боковую поверхность цилиндра, пробивает его насквозь и вылетает из него со скоростью практически не изменив направления движения. Найдите величину w угловой скорости, которую получит цилиндр. Прицельное расстояние d считайте заданным.

7.7 Однородный стержень длины l и массы m₁ может без трения вращаться в горизонтальной плоскости, вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через его середину С. На стержень налетает небольшое тело массы m₂, с горизонтальной скоростью (см. рис.), и приклеивается к нему. Найдите величину угловой скорости w стержня после столкновения.

7.8 Однородный стержень длины l и массы m₁ может без трения вращаться в горизонтальной плоскости, вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через его середину С. На стержень налетает небольшое тело массы m₂, с горизонтальной скоростью (см. рис.), и отскакивает от него со скоростью в противоположном направлении. Найдите величину угловой скорости w стержня после столкновения.

7.9 Однородный стержень длины l и массы m₁ может без трения вращаться в горизонтальной плоскости, вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через его середину С. На стержень налетает небольшое тело массы m₂, с горизонтальной скоростью (см. рис.), и приклеивается к нему. Найдите величину угловой скорости w стержня после столкновения.

7.10 Однородный стержень длины l и массы m₁ может без трения вращаться в горизонтальной плоскости, вокруг закрепленной вертикальной оси, проходящей через его середину С. На стержень налетает небольшое тело массы m₂, с горизонтальной скоростью (см. рис.), и отскакивает от него со скоростью в противоположном направлении. Найдите величину угловой скорости w стержня после столкновения.

7.11 Два горизонтальных диска, расположенных один выше, другой ниже, свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I₁ и I₂, а угловые скорости - и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними стали единым диском. Найдите установившуюся угловую скорость дисков.

7.12 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. На диск положили однородный стержень массы 1 кг длиной 0,8 м так, что его середина совпала с центром диска. Стержень сразу приклеился к диску. Вычислите величину конечного момента импульса системы диск – стержень.

7.13 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. Из центра диска на его край вдоль радиуса переползает небольшое тяжелое животное массой 1 кг и там останавливается (относительно диска). Вычислите величину конечного момента импульса системы.

7.14 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. На диск в точку, удаленную от центра на расстояние 0,2 м, с малой высоты падает небольшое тяжелое тело массой 1 кг и прилипает к диску. Вычислите величину конечного момента импульса системы.

7.15 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. На диск в точку, удаленную от центра на расстояние 0,2 м с малой высоты падает небольшое тяжелое тело массой 1 кг и прилипает к диску. Вычислите величину конечной угловой скорости диска.

7.16 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. Из центра диска на его край вдоль радиуса переползает небольшое тяжелое животное массой 1 кг и там останавливается (относительно диска). Вычислите величину конечной угловой скорости диска.

7.17 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, раскрутили до угловой скорости 10 рад/с. На диск положили однородный стержень массы 1 кг длиной 0,8 м так, что его середина совпала с центром диска. Стержень сразу приклеился к диску. Вычислите величину конечной угловой скорости системы диск – стержень.

7.18 Человек массы m₁ стоит на краю однородного горизонтального диска массы m₂, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол φ'₁ относительно диска и остановился. Найдите угол φ₂, на который повернулся диск к моменту остановки человека. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.19 Человек массы m₁ стоит на краю однородного горизонтального диска массы m₂, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек начал двигаться по краю диска и, обойдя его дважды, оказался в исходной точке относительно диска и остановился. Найдите угол φ₂, на который повернулся диск к моменту остановки человека. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.20 Человек массы m₁ стоит на краю однородного горизонтального диска массы m₂, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек начал двигаться по краю диска, обойдя его, оказался в исходной точке относительно диска и остановился. В результате диск повернулся на угол 90⁰.Вычислите отношение массы диска к массе человека. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.21 Человек массы m₁ стоит на краю однородного горизонтального диска массы m₂ и радиуса R, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек начал двигаться по краю диска со скоростью относительно диска. Найдите величину ω угловой скорости диска. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.22 Человек массы m₁ стоит на краю однородного горизонтального диска массы m₂, который вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с начальной угловой скоростью ω. Человек переходит в центр диска. Найдите величину Ω конечной угловой скорости диска. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.23 Человек массы m₁ стоит в центре однородного горизонтального диска массы m₂, который вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с начальной угловой скоростью ω. Человек переходит на край диска. Найдите величину Ω конечной угловой скорости диска. Человека в задаче рассматривайте как материальную точку.

7.24 Человек расположился в окрестности центра однородного горизонтального диска, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек держит в руках легкий стержень так, что он вертикален и совпадает с осью вращения диска. В середине стержня перпендикулярно ему на подшипнике укреплено колесо. Масса колеса m и распределена однородно по его ободу, радиус колеса R. Колесо вращается с угловой скоростью ω, диск в начале покоится. Человек поворачивает стержень в вертикальной плоскости на угол 90⁰ так, что центр колеса остается на оси вращения диска. Найдите величину Ω конечной угловой скорости диска. Суммарный момент инерции диска и человека равен J.

7.25 Человек расположился в окрестности центра однородного горизонтального диска, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Человек держит в руках легкий стержень так, что он вертикален и совпадает с осью вращения диска. На верхнем конце стержня перпендикулярно ему на подшипнике укреплено колесо. Масса колеса m и распределена однородно по его ободу, радиус колеса R. Колесо вращается с угловой скоростью ω, диск в начале покоится. Человек поворачивает стержень в вертикальной плоскости на угол 180⁰ так, что стержень остается на оси вращения диска. Найдите величину Ω конечной угловой скорости диска. Суммарный момент инерции диска и человека равен J.

Собственный момент импульса твердого тела относительно постоянной оси вращения.

-вычисляется относительно системы отсчета центра масс.

7.26 Тонкий обруч массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра обруча 3 м/с. Радиус обруча 1/3 м. Вычислите величину собственного момента импульса обруча.

7.27 Однородный диск массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра диска 2 м/с. Радиус диска 1/3 м. Вычислите величину собственного момента импульса диска.

Кинетическая энергия твердого тела вращающегося воруг постоянной оси.

7.28 Вычислите кинетическую энергию тонкого проволочного кольца, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Масса кольца, его радиус и угловая скорость равны соответственно 0,1 кг; 0,1 м; 200 рад/с.

7.29 Однородный стержень длиной м и массой 1 кг вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 30 рад/с вокруг вертикальной оси. Ось вращения проходит через точку стержня, которая делит длину стержня в отношении 1 к 2. Вычислите кинетическую энергию стержня.

Сохранение момента импульса и кинетическая энергия системы тел.

7.30 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м раскрутили до угловой скорости рад/с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. На диск положили однородный стержень массы 1 кг длиной 0,8 м так, что его середина совпала с центром диска. Стержень сразу приклеился к диску. Вычислите величину конечной кинетической энергии системы диск – стержень.

7.31 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м раскрутили до угловой скорости 10 рад/с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. На диск в точку, удаленную от центра на расстояние 0,2 м с малой высоты падает небольшое тяжелое тело массой 1 кг и прилипает к диску. Вычислите величину конечной кинетической энергии системы.

7.32 Однородный горизонтальный диск массы 0,5 кг и радиуса 0,4 м раскрутили до угловой скорости 10 рад/с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Из центра диска на его край вдоль радиуса переползает небольшое тяжелое животное массой 1 кг и там останавливается (относительно диска). Вычислите конечную кинетическую энергию системы.

7.33 Два горизонтальных диска, расположенных один выше, другой ниже, свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I₁ и I₂, а угловые скорости - и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними стали единым диском. Найдите работу A, совершенную силами трения.

7.34 Гладкий однородный стержень AB массы m₁ и длины l свободно вращается с угловой скоростью ω₀ в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец A. Из точки A начинает скользить по стержню небольшая муфта массы m₂. Найдите величину скорости муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца B.

7.35 Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной b и массы m₁ может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластинки по нормали к ней упруго ударяется шарик массы m₂, летевший со скоростью . Найдите скорость шарика после удара.

Кинетическая энергия твердого тела в случае плоского движения.

В этом случае кинетическая энергия складывается из собственной энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и энергии поступательного движения со скоростью центра масс.

7.36 Тонкий обруч массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра обруча 3 м/с. Вычислите собственную кинетическую энергию обруча.

7.37 Тонкий обруч массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра обруча 3 м/с. Вычислите кинетическую энергию обруча в системе отсчета, связанной с плоскостью.

7.38 Однородный диск массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра диска 2 м/с. Вычислите собственную кинетическую энергию диска.

7.39 Однородный диск массы 1 кг катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, причем скорость центра диска 2 м/с. Вычислите кинетическую энергию диска в системе отсчета, связанной с плоскостью.

7.40 Однородный сплошной цилиндр катится без проскальзывания. Вычислите величину n отношения кинетической энергии поступательного движения цилиндра к его собственной кинетической энергии.

7.41 Тонкостенная цилиндрическая труба катится без проскальзывания. Вычислите величину n отношения кинетической энергии поступательного движения трубы к ее собственной кинетической энергии.

Закон сохранения механической энергии.

7.42 Однородный стержень длины 0,6 м может вращаться без трения в вертикальной плоскости в поле сил тяжести (g = 10 м/с²) вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Когда стержень находился в устойчивом равновесном положении, ему сообщили начальную угловую скорость 10 рад/с. Вычислите максимальную высоту, на которую поднимется центр масс стержня.

7.43 Однородный стержень длины 0,6 м может вращаться без трения в вертикальной плоскости в поле сил тяжести вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Масса стержня 1/3 кг. Когда стержень находился в устойчивом равновесном положении, ему сообщили начальную угловую скорость 10 рад/с. Вычислите величину максимального момента импульса стержня (относительно точки подвеса).

7.44 Однородный стержень длины 0,3 м может вращаться без трения в вертикальной плоскости в поле сил тяжести (g = 10 м/с²) вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Масса стержня 1/3 кг. Стержень привели в горизонтальное положение и отпустили. Вычислите величину максимального момента импульса стержня.

7.45 Однородный стержень длиной 30 см одним концом шарнирно прикреплен к плоскости горизонтального стола. Из вертикального положения стержень начинает падать на стол, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг точки закрепления. Вычислите величину угловой скорости стержня в конце падения. Ускорение свободного падения 10 м/c².

7.46 С одного горизонта по наклонной плоскости скатываются сплошной и полый цилиндры одинаковых радиусов. Вычислите величину n отношения скоростей центров масс сплошного и полого цилиндров при достижении ими основания наклонной поскости.

Гироскоп.

7.47 Волчок массы m = 0,5 кг, ось которого наклонена к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии I = 2 г∙м², угловая скорость вращения вокруг этой оси ω = 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка l = 10 см. Найдите угловую скорость прецессии волчка.

7.48 Корабль движется со скоростью = 36 км/ч по дуге окружности радиуса R = 200 м. Найдите момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны вала с маховиком, которые имеют момент инерции относительно оси вращения I = 3,8∙10³ кг∙м² и делают n = 300 об/мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.