Контакты

Случайная статья

Урок-лекция. Задание: изучить материал и законспектировать примеры, вычисления определенных интегралов методом подстановки и по частям.. Тема: «Вычисление определенных интегралов методом подстановки и по частям».. Изучение нового материала

Урок-лекция

Задание: изучить материал и законспектировать примеры, вычисления определенных интегралов методом подстановки и по частям.

Тема: «Вычисление определенных интегралов методом подстановки и по частям».

Цель урока: познакомить с методами вычисления определённого интеграла.

Ход урока.

1. Изучение нового материала

Вспомним, что определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F(a)-F(b)

- соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!) и основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1.

= =27-8=19.

Рассмотрим первый метод вычисления определённого интеграла - метод подстановки или введения новой переменной.

Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то найдём интеграл по формуле

Пример 2.Вычислить

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4и x = 5в уравнение

даёт а

получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Пример 3.

= = = =

Пример 4.

= - =- ( )=-

Второй метод: вычисление определенного интеграла по частям:

Используем формулу:

-

Пример 5.

= - + =( )+ -1-1= -2;

Пример 6.

=-6xctgx + =-6· -6· +ln|sinx| =π + ln|sin |- ln|sin |= π + ln1- ln = π + 0+ln2= π +ln2

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.