Первый дифференциал. Определение и основные свойства первого дифференциала. Геометрический смысл первого дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала

Первый дифференциал

4.1 Производная4.3 Свойства дифференцируемых функций

1 Определение и основные свойства первого дифференциала

Пусть в некоторой окрестности точки x0 задана функция y=f(x), причем f(x) дифференцируема в точке x0.

Определение. Первым дифференциалом функции f(x) в точке x=x0 называется выражение df(x0,Δx)=f′(x0)⋅Δx, где величина Δx предполагается достаточно малой.

Замечание. Если f(x)=x, то имеем: dx=Δx. Это равенство выполняется, когда x является независимой переменной.

Из определения производной следует, что

ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx→Δx→0f′(x0),

так что

ΔfΔx−f′(x0)=α(Δx),α(Δx)−→Δx→00.

Умножая на Δx, получаем:

Δf=df(x0,Δx)+α(Δx)⋅Δx,α(Δx)−→Δx→00.

Следовательно, при малых Δx имеем приближенное равенство:

Δf≈df.

Это приближенное равенство (и его аналоги) играют ключевую роль в приближенных вычислениях.

Описанные выше свойства производной приводят к соответствующим свойствам первого дифференциала. Если заданы две дифференцируемые функции u(x), v(x), то

1. d(c⋅u)=c⋅du.

2. d(u+c)=du.

3. d(u+v)=du+dv.

4. d(u⋅v)=du⋅v+u⋅dv.

5. d(u/v)=(du⋅v−u⋅dv)/v2.

2 Геометрический смысл первого дифференциала

Рассмотрим график функции y=f(x) в окрестности точки x и касательную к графику, проведенную через точку (x,f(x).

Рис 3: К геометрическому смыслу первого дифференциала

Из картинки ясно, что отрезок df - это то, что отсекают касательная и прямая y=f(x) на вертикальной прямой, проходящей через x+Δx.

3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала

Пусть y=f(x), z=h(y), причем эти функции дифференцируемы при всех интересующих нас x,y. Подставляя y=f(x) в аргумент функции z=h(y), получим сложную функцию z=h(f(x)). Выпишем ее первый дифференциал,

dz=(h(f(x)))′Δx.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

dz=dhdy⋅dfdxΔx.

Однако согласно определению первого дифференциала, dfdxΔx=dy, так что предыдущее равенство переписывается в виде:

dz=dhdydy.

Это равенство выглядит точно также, как если бы мы полагали нашу функцию зависящей от независимой переменной y, забыв о том, что мы имеем дело со сложной функцией. Этот факт и называется инвариантностью первого дифференциала.