Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Математическая олимпиада



Математическая олимпиада

10 класс

1.Пусть . Чему равно ?

2.Доказать, что во всяком  имеет место неравенство ,где

АМ – медиана стороны ВС.

3.Найти решение системы:

4. Доказать, что выражение

 выполняется для любого  и  для любого .

5. Сплав состоит из Zn и Cu ,входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

6. Решить уравнение:      

                                          .

7. На стороне АВ квадрата ABCD  построен равносторонний . Чему равен радиус окружности , проходящей через точки С, D и Е, если сторона квадрата равна 1?

 

8. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

                                

9.Среди всех квадратичных функций , которые принимают только неотрицательные значения, найти такую функцию, у которой сумма p+q наименьшая.

10. Найти остаток от деления числа 248 на 1999.

11.

Товар 1квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал Год
А    
Б ?  
В    
Г    
Всего      

Определить наибольшее значение объема продаж товара Б в первом квартале.

12.Внутри угла в 600 взята точка, удаленная от сторон угла на 2см и на 11см. Найти расстояние от этой точки до вершины угла.

13.  Два выпуклых четырехугольника имеют общие середины сторон. Докажите, что такие четырехугольники равновелики.

14.Числа a,b,c и d - члены геометрической прогрессии. ab=10, a + d=7. Найти b3+c3 .

15. В треугольнике 2 медианы взаимно перпендикулярны и равны 6см и 9см. Найти площадь этого треугольника.

16.Вычислить:

17.На базаре продаются рыбки большие и маленькие. Сегодня 3 больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько 5 больших, но вчера, а 2 больших и 1 маленькая, но сегодня - столько же, сколько 3 больших и 1 маленькая, но вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: 1 большая и 2 маленькие, но сегодня или 5 маленьких, но вчера?

18. При каких значениях параметров a и b многочлен

 является квадратом многочлена II степени?

19.Найти значениеa и b при которых значение a3- b3 +ab наименьшее, если a + b=1.

 

20.Вычислить без микрокалькулятора .

21.Докажите, что , где ,   BN=n;  CL=m.

22.Найти максимум ab, если a + 2b=1.

23.Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом.

24.Может ли описанный многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы, или равные углы, но неравные стороны.

25. Найти объем и радиусы описанного и вписанного шара для куба с ребром а.

26.Доказать, что при любом натуральном n , где

27.Построить график функции: .

Решить уравнение: 1+7+12+…+х=280.

28. Из пункта А в пункт В выехали «Жигули». Одновременно навстречу им из пункта В в пункт А выехал грузовик. Через некоторое время они встретились, и после этого «Жигули» ехали до В ещё 4 часа, а грузовик до А – еще 9 часов. Сколько времени затратил каждый из автомобилей на весь путь, если оба ехали одним маршрутом и с постоянными скоростями?

29.При каких значениях параметра, а уравнение  не имеет корней?

30. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого (S1) обязательно больше площади (S2) треугольника.

30. Цена товара повысилась на p%, затем снизилась на 50%, потом повысилась в 2 раза и, наконец, снизилась на p%. В результате составила 93,75% начальной стоимости.

Чему равно p?

 

31. Вычислить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной 13см и основанием 12см.

32. Найдите сумму .
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.