Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Примеры и разбор решения заданий



 

Лекция 7.«Способы решения показательных неравенств»

 

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

 

Неравенства вида ,  называются простейшими показательными неравенствами.

В самом простом случае неравенство принимает вид: .

Очевидно, что знак неравенства может быть любым (<, >, , ).

Множество решения неравенства будет зависеть и от знака неравенства, и от основания степени, и от значения b.

 

Так как множество значений показательной функции – множество положительных чисел, то при неравенства: и решений не имеют, независимо от значения основания а. В то же время множеством решения неравенств и является все множество действительных чисел, независимо от значения основания а.

 

Теперь рассмотрим случай b>0, a>1.

В том случае, когда основание степени a>1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства не изменяется.

Теперь рассмотрим случай b>0, 0<a<1.

В том случае, когда основание степени 0<a<1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства изменяется на противоположный.

 

Для того чтобы решить простейшее показательное неравенство , нужно число b представить в виде степени числа a.

 

Рассмотрим пример: .

Представим в виде степени числа 5: .

Теперь перепишем данное неравенство в виде: .

Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, поэтому x>3/7.

Ответ: x>3/7.

 

Рассмотрим еще один пример: .

Перепишем его в виде

.

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменяется на противоположный:

,

,

.

Ответ: .

 

Теперь перейдем к решению более сложных показательных неравенств.

1) Рассмотрим пример: .

Преобразуем показатель первого слагаемого: .

Теперь в левой части вынесем за скобку общий множитель: .

Разделим обе части неравенства на 4: . Получили простейшее показательное неравенство. Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, получаем: . Решение этого неравенства является полуинтервал (0; 1].

Ответ: (0; 1].

 

2) Рассмотрим еще один пример: .

Заметим, что , поэтому введем новую переменную . Получим вспомогательное неравенство: .

Решим его:

.

Вернемся к исходной переменной:

, .

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменится на противоположный:

.

Ответ: .

 

3) Рассмотрим еще одной показательное неравенство, которое решается методом замены переменной.

.

Видим, что неравенство зависит от выражения , поэтому введем новую переменную и запишем вспомогательное неравенство: .

Преобразуем полученное неравенство к виду: F(t)<0.

, приведем левую часть к общему знаменателю:

, . Так как , то , поэтому решение полученного неравенства сводится к: , то есть .

Вернемся к исходной переменной: , то есть x<0.

Ответ:

 

 

Примеры и разбор решения заданий

1. .

Решение:

Введем новую переменную .

Запишем вспомогательное неравенство: .

1) Если , то решением неравенства является любое значение t, которое удовлетворяет области определения: .

Решив систему: , получаем: .

2) Если ( ), возведем обе части неравенства в квадрат:

.

Решим его: ,

,

,

0<t<9.

Учитывая условие , получаем: .

Таким образом, объединяя первый и второй случай, получаем решение иррационального вспомогательного неравенства:

.

Вернемся к исходной переменной:

. Так как всегда, то получаем: .

Учитывая, что основание степени больше 1, получаем:

Ответ: .

 

2. (x^2+x+1)^((x+5)/(x+2))

Решение:

Используем метод рационализации и перепишем неравенство в виде:

,

.

Получили неравенство: .

Упростим его и решим методом интервалов:

,

.

Запишем ответ: .

Ответ: .

 
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.