Лекция 7. Критерий Рауса

Лекция 7

Устойчивость линейных САР

Для устойчивого состояния (математического)

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение при как угодно мало отличается от невозмущенного движения

Асимптотическая устойчивость

, (*)

Линеаризуем (*) в районе номинального значения

(2*)

Коэффициенты зависят от параметров системы

1) Самый простой случай (можно аналитически)

3) (только численное решение)

Условия, при которых можно использовать решение линеаризующих уравнений (*) при исследовании устойчивости движения без опаски ошибиться сформулированы Ляпуновым в следующих теоремах.

Теорема 1

Если все корни характеристического уравнения1-го приближения имеют вещественные части отрицательные, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво (при малых отклонениях), независимо от отброшенных частей.

Теорема 2

Если среди корней 1-го приближения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то движение неустойчиво. Не зависит от отброшенной части.

Теорема 3

Если вещественные части равны 0, то нельзя однозначно сказать об устойчивости, пограничный случай.

Важно научиться судить об устойчивости без непосредственного решения ДУ. В дальнейшем исследуем именно однородную систему:

Другая форма записи:

(3*)

(4*)

Предположим: k-число действительных корней

(n-k) – комплексных

Неустойчивое положение

Устойчивое положение

- устойчивый колебательный процесс

Все пограничные состояния системы будем относить к неустойчивому движению.

Часто удобно представить характерное уравнение в следующем виде:

Если все корни найдены:

Важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы, минуя вычисление корней. Это правило называется критериями устойчивости.

Критерии устойчивости подразделяются на алгебраические и частотные.

Критерий Вышнеградского для системы 3-го порядка