Напряжения на произвольной площадке при плоском напряженном состоянии.

34. Напряжения на произвольной площадке при плоском напряженном состоянии.

Рассмотрим произвольно нагруженное тело. Выберем точку А в которой имеет место плоское напряжённое состояние (рис. 4.7, а). Вырежем в окрестности точки элемент, грани которого параллельны главным площадкам, и покажем его отдельно (рис. 4.7, б).

Изобразим произвольную площадку и напряжения σ_α и τ_α на ней, которые нам необходимо определить. Элемент в этой точке, нагружен лишь по четырём граням.

Обозначим через α угол между наибольшим из главных напряжений σ₁ и нормалью п к площадке, тогда угол между напряжением σ₁₁ и нормалью п будет равен а + 90° .

В сопротивлении материалов рассматриваются линейные системы, поэтому напряжения (деформации, перемещения) от группы сил можно найти как сумму напряжений (деформаций, перемещений) от каждой силы в отдельности (рис. 4.8). Этот принцип называется принципом независимости действия сил или принципом суперпозиции.

Следовательно,

где

Аналогично

где тогда

Таким образом, мы получили формулы преобразования напряжений при повороте от главных площадок при плоском напряжённом состоянии.

Проанализируем полученные формулы

при , × где n = 0, ±1, ±2, …

Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных и действуют на площадках, равно наклонённых к главным (рис. 4.9).