Правила дифференцирования

Тема: Основные понятия математического анализа

План занятия:

1. Понятие предела функции.

2. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.

Вопрос 1. Понятие предела функции.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке (или при ), если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента x, отличных от , соответствующая последовательность сходится к числу A.

Символически это записывается так:

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Основные неопределённости пределов:

Для того чтобы устранить неопределённость, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Пример 1. Найти предел заданной функции:

а)

б)

в)

г)

д)

Вопрос 2. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.

Производной функции у=ƒ(х) β точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х₀ обозначается одним из символов: ƒ'(х₀), у'|_x=xo или у'(х₀).

Правила дифференцирования

Правило 1. Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:

Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Правило 2. Если существуют производные и , то производная от суммы (разности) функций и равна сумме (разности) производных:

Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.

Правило 3.

Правило

Формулы вычисления производных функций:

Пример 2.Вычислить производную функции:

Решение:

Пример 3.Вычислить производную функции:

Пример 4.Вычислить производную функции:

Пример 5.Вычислить производную функции: