Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Применение производной к построению графика функции.



Применение производной к построению графика функции.

 Примерный план исследования функции:

1.Область определения.

2. Точки пересечения с осями координат:
1) с осью оу: х=0

2)с осью оx: y=0

3.Чётность и нечётность:

 Если f(-х)= - f(х), то функция нечётная (График симметричен относительно начала координат)

Если f(-х)= f(х), то функция чётная (График симметричен относительно оси ординат Оу)

Если f(-х)  - f(х) и f(-х)  f(х), то функция ни чётная и ни нечётная (симметрии графика нет)

4. Производная

5. Стационарные точки(решаем уравнение: производная f’(x)=0) 

6. Промежутки возрастания и убывания

Если производная f’(x) положительна, то функция возрастает.

Если производная f’(x) отрицательна, то функция убывает.

7. Точки экстремума и экстремумы в них

Если производная переходя через стационарную точку меняет свой знак с + на - , то это точка максимума

Если производная переходя через стационарную точку меняет свой знак с – на + , то это точка минимума

8 .Дополнительные точки

9. График функции.

 

 

Задача 1учебник  стр.271.

 

  План исследования функции исследование функции
    Функция У=х3-2х2+x
Область определения Х- любое число или хЄR
Точки пересечения с осями координат 1)с осью оу: х=0 y(0)=4 2)с осью оx: y=0  х3-2х2+x=0                x(x2-2x+1)=0 х=0 (x2-2x+1)=0         (х-1)2=0           Х=1 Итак на осях координат имеем точки (0;4); (0;0); (1;0)
Чётность и нечётность У(-х)=(-х)3 -2(-х)2 +4=- х3-2х2+4 функция не является ни чётной и ни нечётной
Производная У’(x)=3x2-4x+1  
Стационарные точки У’(x)=0 3x2-4x+1=0 D =16-4*3*1=4 Корни х=1/3 х=1
Промежутки возрастания и убывания у’     +                 +               •              х Y             1/3   1                
Точки экстремума и экстремумы в них Xmax=1/3     ymax= (1/3)3-2 (1/3)2+1/3=4/27 Xmin=1 ymin=1-2+1=0
Дополнительные точки Х=-1 у(-1)=-1-2-1=-4 х=2 у(2)=8-2* 4+2=2
     

 

 

Строим график функции.

 

 

Задача 3 учебник  стр.273

1. ООФ: Х‡0

2. Точки пересечения с осями координат:
1) с осью оу: Х‡0, поэтому точек пересечения с осью Оу нет

2)с осью оx: y=0. Решаем х + 4/х=0 . Приведём к общему знаменателю:

                 (Х2+4)/х=0, где  Х‡0

            Х2+4=0
          Х2=-4-корней  нет,

значит точек пересечения с осью ох нет

3.Чётность и нечётность: f(-х)=- х-4/х= - (х+4/х)= - f(х)- нечётная. График симметричен относительно оси начала координат.

4. Производная f’(x)=1- 4/х2=( х2-4)/ х2

5. Стационарные точки :

производная f’(x)=0             х2-4=0 , где  Х‡0 .

(х -2)(х+2)=0

х -2 =0 или х+2=0

х=2 и х= -2-стационарные точки

6. Промежутки возрастания и убывания

У’     +       _          _            +

y           -2         °0      •2                    x

 

7. Точки экстремума и экстремумы в ниx

Х=0- точка разрыва (Х‡0)

Xmax= -2 ymax= -2+4: (-2)=-2-2=-4
Xmin=2 ymin=2+4:2=2+2=4
Результаты исследования можно записать в таблице

х х< -2 -2 -2<х<0 0<х<2 Х >0
У’ + 0 - Не сущ - +
У -4 Не сущ
    max   Нет экстре- мума   min  

8 .Дополнительные точки: х=1 У(1)=5
                                         Х=4 У(4)=5

 


Примечание : План исследования является примерным.

Иногда при нахождении точек пересечения с осью Ох получается сложное уравнение, которое мы не знаем как решать, тогда этот пункт можно пропустить. Точки пересечения определятся при построении графика.

Решить задачи:

Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

1. У= х2- 4х.

2. f(x)= 1-x3

3. f(x)= x3- 3x2

4. Y= x3- x
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.