Вопросы к экзамену по математическому анализу

Вопросы к экзамену по математическому анализу

1 курс, 1 семестр

1. Определение функции, способы задания, общие свойства.

2. Последовательность. Предел последовательности, его геометрическое истолкование

3. Число e.

4. Понятие предела функции в точке, геометрическое истолкование. Предел постоянной.

5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

6. Бесконечно малые функции, их свойства.

7. Сравнение бесконечно малых.

8. Функции бесконечно большие в точке, их связь с бесконечно малыми. Бесконечно большие функции определенного знака (определение, геометрическое истолкование). Свойства бесконечно больших.

9. Неопределенные выражения, раскрытие неопределенностей.

10. Односторонние пределы функции в точке, их связь с существованием предела в точке.

11. Пределы на бесконечности и бесконечные пределы. Формулировка свойств функций, имеющих предел на бесконечности, доказательство некоторых свойств.

12. Первый замечательный предел и следствия из него.

13. Второй замечательный предел и следствия из него.

14. Различные определения непрерывной функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Непрерывность функций и .

15. Свойства функций, непрерывных в точке.

16. Точки разрыва и их классификация.

17. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.

18. Понятие дифференцируемой функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

19. Правила дифференцирования.

20. Производные основных элементарных функций.

21. Производные высших порядков. Механический смысл 2-й производной.

22. Параметрически и неявно заданные функции и их производные.

23. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

24. Правило Лопиталя.

25. Условия постоянства функции.

26. Необходимые и достаточные условия монотонности. Схема исследования функции на монотонность.

27. Экстремумы: определение, необходимые и достаточные условия.

28. Выпуклость и вогнутость кривой, достаточные условия.

29. Перегиб кривой, необходимые и достаточные условия.

30. Асимптоты кривой, их виды и нахождение.

31. Схема полного исследования функции