Урок 29. Условная вероятность. Правило умножения.

Урок 29. Условная вероятность. Правило умножения.

Часто случайное событие А в случайном опыте приходится рассматривать при условии, что произошло некоторое другое событие В. Наступление события В меняет эксперимент. По сути, при наступлении некоторого события мы получаем новый эксперимент, и вероятности других событий при этом могут измениться. Вероятность события А при условии события В может вырасти, уменьшиться или остаться прежней.

Пример 1.В семье двое детей.

а) Какова вероятность того, что в семье оба ребенка — девочки?

б) Известно, что один из них — девочка. Какова вероятность того, что другой ребёнок тоже девочка?

Следует считать, что рождение мальчика и девочки равновозможно.

Решение.В случае (а) элементарных исходов четыре: ММ, МД, ДМ, ДД. Вероятность рождения двух девочек равна .

В пункте (б) спрашивается тоже вероятность рождения двух девочек. Но кардинальное отличие состоит в том, что вероятность надо найти, исходя из дополнительного условия: один из детей — девочка. Это условие меняет суть эксперимента. Элементарных событий уже не четыре, а три: МД, ДМ и ДД. И искомая вероятность события ДД равна , а это больше, чем .

Мы нашли вероятность того, что в семье две девочки при условии, что один ребёнок — девочка. И она отличается от вероятности такого же события «две девочки», которое рассматривается без условий. Условие «один из детей — девочка» увеличило вероятность двух девочек.

Вероятность наступления события при условии, что какое-то событие заведомо наступило, называется условной вероятностью. Разберём подробнее это понятие на примере.

Пример 2.Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий:

Рис. 1 Пересечение событий А и В

а) «в первый раз выпало менее шести очков, и сумма очков равна 8»;

б) «в первый раз выпало менее шести очков», если известно, что сумма выпавших очков равна 8.

Решение.

Введём обозначения для событий: А «в первый раз выпало не больше, чем 5 очков» и В «сумма выпавших очков равна 8».

В пункте (а) нужно найти вероятность пересечения событий А и В. Благоприятствующих исходов всего (см. рис. 1), поэтому .

Рис. 2

В пункте (б) нужно найти вероятность события А при условии, что событие В наступило. Такое событие обозначается

. Если событие

наступило, то от всего эксперимента осталось лишь пять элементарных событий:

. Событию

из них благоприятствуют четыре последних (см. рис. 2). Поэтому

Определение. Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии события В. Обозначается эта вероятность .

Чтобы понять, чем отличается безусловная вероятность от условной, проиллюстрируйте эксперименты на диаграммах Эйлера (рис. 3).

Рис. 3

В пункте (а) мы нашли вероятность события, исходя из того, что всего элементарных событий 36 (см. рис. 3 а). Когда же нас просят найти условную вероятность (б), эксперимент уже другой — он свёлся к событию В (см. рис. 3 б), и нужно найти долю благоприятных исходов уже не среди всех 36 событий, а среди пяти, благоприятствующих событию В.

Пример 3. В некотором городе пятую часть населения составляют дети и подростки. Среди взрослых жителей четверть не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Какова вероятность того, что случайно выбранный житель города — взрослый работающий человек?

Решение.Искомая вероятность равна доле взрослых работников среди всего населения города. Из условия ясно, что взрослые составляют населения города, и из них работают. Значит, населения — взрослые работающие люди. Искомая вероятность равна 0,6.

Предложите учащимся посмотреть на эту задачу с другой стороны. Пусть событие А «выбранный горожанин работает», и событие В «выбранный горожанин — взрослый». Из условия следует, что доля взрослого населения и есть вероятность . А — доля работающих среди взрослого населения — есть условная вероятность . Вероятность одновременного наступления событий А и В оказалась равна произведению вероятностей, то есть: .

Эту формулу мы получили на примере, но она верна для любых случайных событий в любых случайных опытах. Полученное равенство мы назовём правилом умножения вероятностей.

Правило умножения вероятностей. Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Если вероятность события В больше нуля, то из этой формулы следует способ нахождения условных вероятностей:

Пример 4. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

Рис. 4

Решение.Введём обозначения событий: А «кофе закончился в первом автомате» и В «кофе закончился во втором автомате». Во всех четырёх областях диаграммы подпишем вероятности соответствующих событий (рис. 4).

Нужно найти вероятность события В при условии, что событие А наступило, то есть ‍. Вероятность события А равна 0,3. Из этой вероятности 0,21 приходится на случай, когда наступило ещё и событие В. Поэтому

Можно ли сказать, что событие В при условии А стало более вероятным, чем было до того, как мы узнали, что событие А произошло?

Пример 5. Предположим, что в некотором городе 48% населения — мужчины, а среди мужчин 15% — пенсионеры. Какова вероятность того, что случайно выбранный житель города окажется мужчиной на пенсии?

Решение.Эта вероятность равна доле мужчин-пенсионеров среди всех жителей города. Пусть событие «выбранный житель — мужчина». Тогда . Обозначим А событие «выбранный житель — пенсионер». Наша задача состоит в том, чтобы найти .

Мы не знаем долю пенсионеров в городе, но знаем долю пенсионеров среди мужчин. Поэтому мы знаем условную вероятность . Она равна 0,15.

Найти искомую вероятность теперь можно по формуле:

Для понимания формулы предложите учащимся проверить полученный результат. Если численность населения обозначить , то мужчин будет , а мужчин-пенсионеров в городе , то есть вероятность события равна 0,072.

Иногда сложный случайный эксперимент представляет собой череду последовательных случайных опытов, причём вероятности событий в этих опытах зависят от исхода предыдущих опытов. Тут мы также имеем дело с условной вероятностью. Рассмотрим пример такого эксперимента.

Пример 6.В коробке 5 красных и 5 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша. Найдите вероятность того, что сначала появится красный, а затем — синий карандаш.

Решение. Вначале красных и синих карандашей в коробке поровну, поэтому вероятность извлечь первым красный карандаш (событие А) равна . После того, как это случилось, в коробке осталось 9 карандашей, и 5 из них — синие. Поэтому теперь вероятность вторым извлечь синий карандаш (событие В) равна . Искомая вероятность, в соответствии с правилом умножения, равна произведению:

Пример 7. На кассе универсама продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди именно в таком порядке покупают по одному леденцу. Кассир, не глядя, достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что:

а) Таня и Ваня получат зеленые, а Маня — красный леденец;

б) Таня и Маня получат синие, а Ваня — красный;

в) Таня получит зеленый, Ваня — красный, а Маня — синий;

г) все трое получат красные леденцы.

Решение. Решим пункт (а). Введём обозначение событий: А «Таня получила зеленый леденец», В «Ваня получил зеленый леденец» и С «Маня получила красный леденец». Первой леденец покупает Таня. Вероятность того, что при этом ей достанется зелёный леденец . Вторым леденец покупает Ваня. Вероятность того, что ему тоже достанется зелёный леденец (при условии, что один достался Тане), нужно рассчитывать исходя из того, что у продавца осталось 24 леденца, и только 5 из них зелёные. Таким образом . Найдем вероятность события «Таня и Ваня получат зеленые леденцы» по формуле:

Если известно, что произошло, то мы знаем, что у продавца осталось 23 леденца, и 10 из них красные. Поэтому . Найдём вероятность искомого события по формуле:

Обсудите с учениками результат. Получается, что для нахождения вероятности такой цепочки событий нужно последовательно умножать их условные вероятности.

Остальные пункты предложите учащимся выполнить самостоятельно.

Ответ:а) б) в) г)

Пример 8.В некотором опыте произошло событие . Может ли это увеличить вероятность другого события? Уменьшить вероятность другого события? Приведите примеры, когда условная вероятность события больше и когда она меньше исходной вероятности этого события.

Решение. Самые простые примеры можно привести с помощью бросания монет или игральной кости. Например, при двукратном бросании двух монет событие «хотя бы раз выпал орёл» имеет вероятность 0,75.

Но если известно, что при первом броске выпал орёл, то вероятность этого события увеличивается до 1. Напротив, если в первый раз выпала решка, то событие «хотя бы раз выпал орёл» становится менее вероятным: вероятность уменьшается до 0,5.

Если же события относятся к разным броскам, то они не влияют друг на друга. Например, событие «в первый раз выпал орёл» и «во второй раз выпала решка» не влияют друг на друга: наступление одного из них не влияет на вероятность другого.

Выводы и итоги урока.Условная вероятность — это вероятность случайного события при условии, что какое-то другое событие уже произошло и перестало быть случайным. Как только какое-то событие наступило, опыт изменился, и вместе с ним изменились вероятности других событий. Условная вероятность события может быть меньше или больше начальной (безусловной) вероятности. Иногда случается, что наступление одного события не меняет вероятность другого. В этом случае говорят, что события независимы. Важным примерам независимых событий посвящены несколько следующих уроков.

Не следует путать условную вероятность и вероятность совместного наступления двух событий. Чтобы привыкнуть к условной вероятности, полезно помнить самый простой опыт с двумя монетами или с двумя детьми (пример 1).