Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



cos x = a , |a| 1 (Формула 1). sinx = a, |a| 1 (Формула 3). tg x = a , a (Формула 7) x = ± arctg a + k , k (Формула 8). Примеры.



 

Простейшие тригонометрические уравнения.

1. cos x = a , |a| 1 (Формула 1)

x = ± arccos a + 2 k , k (Формула 2)

Частные случаи:

a = –1 a = 0 a = 1
cos x = –1 cos x = 0 cos x = 1
x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k
  |a| >1 корней нет  

2. sinx = a, |a| 1 (Формула 3)

x = arcsin a +2 k , k (Формула 4)

x =  – arcsin a + 2 k , k (Формула 5)

Объединяя формулы (4) и (5) получаем общее решение:

x = (–1 ) k arcsin a + k , k (Формула 6)

Частные случаи:

a = –1 a = 0 a = 1
sinx = –1 sin x = 0 sin x =1
x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k
  | a| >1 корней нет  

  

3. tg x = a , a (Формула 7) x = ± arctg a + k , k (Формула 8)

 

Основные типы тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

3. Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0, a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

6. Нестандартные уравнения.

 

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

( sinx + cosx ) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2 ].

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

.

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

.

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

.

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
а ) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б ) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ : arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

.

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

.

2) Решить уравнение sin2x – sinx = 2cosx – 1

Решение: Применим формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) – (2cosx – 1) = 0

(2cosx – 1) ( sinx –1) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

.

6. Нестандартные уравнения.

Решить уравнение cosx = х 2 + 1.

Решение:

Рассмотрим функции

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.