ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ДЛЯ ПОДГОТОКВИ К ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА. ЧАСТЬ 3 (Обыкновенные дифференциальные уравнения и ряды)

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия: порядок уравнения, частное решение, общее решение, общий интеграл, интегральная кривая, решение задачи Коши. Существование и единственность частного решения ДУ I-го порядка

2.Типы ДУ I-го порядка и методы их решения. ДУ с разделяющимися переменными; однородные ДУ I-го порядка; линейные ДУ I-го порядка, уравнение Бернулли; ДУ в полных дифференциалах, интегрирующий множитель вида и .

3.ДУ II-го порядка, допускающие понижение порядка.

4.Линейные ДУ II-го порядка Свойства их решений.

5.Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. ЛОДУ II-го порядка.

6.Структура общего решения ЛОДУ II-го порядка. Построение общего решения ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

7.Структура общего решения ЛНДУ II-го порядка. Подбор частного решения ЛНДУ II-го порядка в случае правой части специального вида и . Метод неопределенных коэффициентов.

8.Метод вариации произвольных постоянных для решения ЛНДУ II-го порядка.

9.ЛДУ n-го порядка: основные понятия, свойства решений, структура общего решения. Построение общего решения ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

10. Системы ДУ I-порядка. Метод исключения неизвестных(или метод сведения к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка) в решении систем ДУ I-порядка.

Ряды

1.Числовые ряды. Основные понятия: сумма и сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.

2.Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами: интегральный признак Коши, признаки сравнения, признак Даламбера и радикальный признак Коши.

3.Ряды Дирихле, условия их сходимости. Гармонический ряд.

4. Знакопеременные ряды: понятия абсолютной и условной сходимости. Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда, признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

5.Степенные ряды. Радиус, интервал, область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

6.Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов для приближенных вычислений и решения ДУ.