Последовательное конструирование

Последовательное конструирование

1. На бесконечной в обе стороны клетчатой ленте сидит кузнечик, который умеет прыгать на 7 клеток вправо и на 4 клетки влево. а) Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление левее? б) Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление правее? в) Докажите, что он сможет добраться до любой клетки.

2. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Смогут ли солдаты переправиться через реку?

3. Разрежьте квадрат на: а) 4 меньших квадрата; б) на 7 квадратов; в) на 6 квадратов; г) на 8 квадратов; е) на любое, большее пяти число квадратов.

4. Лягушка прыгает вдоль прямой. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 2 см в том же или в противоположном направлении, затем на 3 см в том же или в другом направлении, затем на 4 см и т. д. Могла ли она после 40-го прыжка оказаться
а) на 20 см левее исходной точки; б) в исходной точке?

5. В одной из клеток шахматной доски стоит конь. а) Докажите, что он может попасть на любую соседнюю клетку; б) докажите, что он может попасть на любую клетку.

6. а) Придумайте 3 различных натуральных числа таких, чтобы каждое было делителем суммы всех остальных; б) 4 числа; в) 10 чисел.

7. Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку шахматной доски, после этого он должен перекрасить ее в противоположный цвет. Маляр ставится на угловую клетку доски, где все клетки белые. Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.

8. Можно ли расставить числа 1, 2, …, 17 в ряд так, чтобы разность двух соседних была равна простому числу?

9. В каждой клетке шахматной доски стоит 0. Разрешается выбрать любые две клетки, соединенные ходом коня, и увеличить на 1 стоящие в них числа. Можно ли добиться того, чтобы в клетках оказались числа 1, 2, …, 64 (не обязательно идущие по порядку)?

10. Незнайка придумал, как шахматным конем обойти все клетки доски 5´5, побывав на каждой клетке ровно один раз. Он показал решение Знайке, после чего Знайка заявил, что теперь он знает, как обойти конем любую доску 5n´5n. Что придумал Незнайка и что придумал Знайка?