Контрольная работа №2. Вариант 2. Решение.

Контрольная работа №2

Вариант 2

ЗАДАЧА 1. Дана функция двух переменных и точка D.

а) найти градиент функции в точке D;

б) составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке D;

в) исследовать функцию на экстремум.

Решение.

а) Считая функцией одного аргумента , находим,

аналогично, считая функцией одного аргумента , находим, .

Затем вычисляем их частные производные в указанной точке:

Применим формулу

Градиент функции найдем по формуле:

и получим .

б) Преобразуя уравнение поверхности к виду и обозначив его левую часть через , найдем частные производные , , .

Вычислим их значения в данной точке , , и значение , затем применим формулу

Получили уравнение касательной плоскости

или

Уравнение нормали составим в виде

Находим окончательно

в) находим точки, в которых частные производные первого порядка

и равны нулю или не существуют и которые лежат внутри области определения функции

, .

Решая систему уравнений

Находим точку М(0,0), которая является стационарной. Далее исследуем точки по знаку определителя , составленного из частных производных второго порядка: , , .

Для точки М получаем А=2, В=2, С=-2 и

в точке М(0;0) экстремума нет.

ЗАДАЧА 2. Найти неопределенные интегралы

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а)

Используем метод непосредственного интегрирования.

Используем свойство линейности неопределенного интеграла. Это табличные интегралы.

б)

Используем метод замены переменной. Имеем интегралы вида .Для сведения интеграла к табличному интегралу используем прямую подстановку .

в)

Применяем формулу интегрирования по частям: .

ЗАДАЧА 3. Вычислить определенные интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а)

Используем формулу Ньютона-Лейбница.

б)

Используем метод замены переменной

в)

Испозьзуем формулу интегрирования по частям

ЗАДАЧА 4. Определить площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций:

, .

Решение.Строим графики функций.

Затем для нахождения точек пересечения графиков решим систему уравнений

Приравнивая левые части, получим

или

Пусть и

не является допустимым значением.

Тогда по формуле искомая площадь S будет равна:

ЗАДАЧА 5.Решить дифференциальные уравнения первого порядка. В тех задачах, в которых заданы начальные условия, найти решения, удовлетворяющие этим условиям.

а)

б) если при ;

Решение.

а) ;

Разделим переменные.

Разделим правую и левую части равенства на произведение множителей, стоящих не у своих дифференциалов:

или

Проинтегрируем обе части последнего равенства: ,

Запишем решение

б) если при ;

Имеем линейное уравнение вида . Здесь , .

Решим уравнение методом Бернулли. Положим , откуда .

Подставим эти значения в уравнение : Сгруппируем члены, содержащие, например , и вынесем за скобку .

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда дифференциальное уравнение разобьется на два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными:

Решаем уравнение (1) при : , . Интегрируя почленно, имеем:

, или , или .Подставим это значение в уравнение (2): или .

Интегрируя почленно, имеем: или .

Заменив в подстановке функции и их выражениями из равенств (1) и (2), получим искомое общее решение данного уравнения:

- общий интеграл данного уравнения.

Удовлетворим начальные условия

Запишем частное решение

ЗАДАЧА 6. Найти решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В тех задачах, в которых заданы начальные условия, найти решения, удовлетворяющие этим условиям.

а) , если , ;

б) ;

в) .

Решение.

а) , если , ;

Ищем общее решение уравнения в виде , где и - произвольные постоянные, и - частные линейно- независимые решения.

Запишем характеристическое уравнение

Найдем его корни.

Корням соответствуют частные решения и . Т.к. решения являются линейно независимыми функциями, то общее решение дифференциального уравнение имеет вид .

Для нахождения постоянных и используем начальные условия ,

Чтобы использовать условие на производную, продифференцируем общее решение

Теперь используем условие .

Тогда частное уравнение запишется так:

б) ;

Запишем характеристическое уравнение

Найдем его корни

Корням соответствуют частные решения и . Т.к. решения являются линейно независимыми функциями, то общее решение дифференциального уравнение имеет вид

в)

Запишем характеристическое уравнение

Найдем его корни

, и .

ЗАДАЧА 7. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристическое уравнение

Найдем его корни. , . Корням соответствуют частные решения и . Т.к. решения являются линейно независимыми функциями, то общее решение дифференциального уравнение имеет вид и