Разбор задачи 19 ЕГЭ. ПРОГРЕССИИ и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Клуб математики

Разбор задачи 19 ЕГЭ. ПРОГРЕССИИ и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Домашнее задание №19у

№	Задание 19
1-ЕГЭ	Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4 б) длиной 5 в) длиной k, где k — любое натуральное число?
2-ЕГЭ	В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности: а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975; в) набор 8197?
3-ЕГЭ	Задание 19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34? в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
4-ЕГЭ	Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность. а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз. б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов? в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
5-ЕГЭ	Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. а) Может ли S равняться 8? б) Может ли S равняться 1? в) Найдите все значения, которые может принимать S.
6-ЕГЭ	Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
7-ЕГЭ	Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n. а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 171? б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 172? в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − n, если n — трёхзначное число?
8-ЕГЭ	На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454. а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6. б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?