Случайные величины

Случайные величины

1. Найдите математическое ожидание случайной величины Z, если

A) Z = 3X – 3Y, MX = 3, MY = 1;

B) Z = X + 3Y + 1, MX = 2, MY = 0.

2. Случайная величина X имеет закон распределения

x_k
p_k	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

Найдите: а) MX; б) M(3X-7); в) M(10X); г) M(X-2.7).

3. Дан закон распределения случайной величины X:

x_k	-2
p_k	0.3	0.2	0.4	0.1

Найдите M(-2X+3):

А) пользуясь свойствами математического ожидания;

Б) составив сначала закон распределения случайной величины -2x + 3.

4. На некотором предприятии установлено n станков и с каждого станка отобрано по три изделия. Определите среднее число бракованных изделий, если известно, что вероятность изготовления бракованного изделия:

А) на каждом станке равна p;

Б) для каждого k = 1, 2, 3, …, n на станке k равна p_k.

5. Найдите MY, если если:

А) случайные величины X₁, X₂, …, X_n имеют одно и то же математическое ожидание a;

Б) для каждого k = 1, 2, 3, …, n случайная величина X_k имеет математическое ожидание a_k.

6. Вероятности попадания мячом в кольцо при одном броске для двух баскетболистов соответственно равны 0.7 и 0.8. Найдите среднее число попаданий, если баскетболисты сделали:

А) по одному броску;

Б) по 10 бросков.

7. Выигрыши, выпадающие на один билет в двух лотереях, имеют соответственно законы распределения:

x
p	0.9	0.06	0.03	0.01

y
p	0.85	0.12	0.02	0.01

А. Какой из лотарей вы бы отдали предпочтение?

Б. Найдите средний выигрыш для обладателя 10 билетов в первой лотерее.

В. Какой средний выигрыш будет иметь человек приобретший два билета первой лотереи и три билета второй?

8. Случайные величины X и Y независимы, причем DX = 1, DY =2. Найдите DZ, если:

А) Z = 3X + Y; Б) Z = 2X – Y – 2; В) Z = aX + bY + c, где a, b, c – постоянные величины.

9. По проводнику, сопротивление которого зависит от случайных обстоятельств, проходит электрический ток, сила которого также зависит от случая. Известно, что среднее значение сопротивления проводника R равно 25 ом, а среднее сила тока I равна 6 ампер. Найдите среднее значение электродвижущей силы, если известно, что сопротивление и сила тока независимы.

10. Случайные величины X и Y независимы и имеют, соответственно, законы распределения:

x	-1
p	0.4	0.1	0.5

y	-2	-1
p	0.3	0.1	0.4	0.2

Найдите: A) D(3X + 2Y); Б) D(3X - 2Y); В) M(XY); Г) закон распределения XY.

11. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для k-го стрелка равна p_k (k = 1,2,3). Найдите MX, DX, если X – общее число попаданий в мишень.

12. Три человека сдали свои шляпы в гардероб. В связи с тем что потух свет, шляпы возвращались наугад. Составьте закон распределения числа людей, которые получат свои собственные шляпы.

13. Из чисел от 1 до 20 наугад выбирают одно число.

A. Составьте закон распределения числа его делителей.

Б. Вычислите вероятность того, что выбранное число имеет не менее трех делителей.

14. В урне пять белых и десять красных шаров. Наугад вынимают два шара. Составьте закон распределения числа извлеченных красных шаров.

15. В урне пять белых и десять красных шаров. Наугад вынимают два шара. Составьте закон распределения числа извлеченных белых шаров.

16. Иногда для принятия решения используют жребий с помощью пальцев. Два игрока одновременно показывают один или больше пальцев правой руки. Составьте закон распределения суммы количества пальцев, показанных игроками.

17. Партия из 8 телевизоров содержит 3 неисправных телевизора. Из этой партии наугад выбирают два телевизора. Составьте закон распределения числа неисправных телевизоров среди выбранных.

18. Два игрока играют в такую игру. Первый игрок дает воторму 50 рублей, а потом бросает игральный кубик. Если выпадет n очков, то первый получает мax(10n, 70–10n) рублей от второго. Для кого из игроков выгодна эта игра?

19. При каждом ходе игрок бросает игральный кубик и получает столько очков, сколько выпадет. Вдобавок, если выпадет 6 очков, он тут же бросает кубик вторично и получает дополнительно столько очков, сколько выпадет. Сколько в среднем очков получает игрок за один ход?

20. При каждом ходе игрок бросает игральный кубик. Если выпадет нечетное число очков, то он получает в два раза больше. Если выпадет четное число очков, то он получает столько очков, сколько выпадет, и вдобавок, он тут же бросает кубик вторично и получает дополнительно столько очков, сколько выпадет. Сколько в среднем очков получает игрок за один ход?

21. При каждом ходе игрок бросает игральный кубик. Если выпадет четное число очков, то он получает в два раза больше. Если выпадет нечетное число очков, то он получает столько очков, сколько выпадет, и вдобавок, он тут же бросает кубик вторично и получает дополнительно столько очков, сколько выпадет. Сколько в среднем очков получает игрок за один ход?

22. Случайная величина X принимает значения –1, 0, 1. Известно, что MX = 0.1; MX² = 0.9. Найдите вероятности, с которыми X принимает свои значения.

23. Случайная величина X принимает значения –1, 0, 1. Известно, что MX = a; MX² = b. Найдите вероятности, с которыми X принимает свои значения.

24. Рассмотрим такую игру. В урне 5 белых шаров и один черный. Игрок наугад извлекает 2 шара и за каждый извлеченный белый шар получает 10 рублей, за черный – 100 рублей. За участие в игре надо платить. При какой стоимости участия в игре она принесет прибыль ее организатору?

25.Рассмотрим такую игру. В урне 5 белых шаров и один черный. Игрок наугад извлекает 2 шара и за каждый извлеченный белый шар получает a рублей, за черный – b рублей. За участие в игре надо платить. При какой стоимости участия в игре она принесет прибыль ее организатору?

26. Рассмотрим такую игру. В урне 4 белых шара и два черных. Игрок наугад извлекает 2 шара и за каждый извлеченный белый шар получает 10 рублей, за черный – 20 рублей. За участие в игре надо платить. При какой стоимости участия в игре она принесет прибыль ее организатору?

27. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадают при бросании двух игральных кубиков.

28.Производят три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными соответственно 0.4; 0.3; 0.6. Найдите среднее число попаданий.

29.Производят три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными соответственно 0.4; 0.5; 0.2. Найдите среднее число промахов.

30. За выход оборудования из строя предприятие, изготовившее это оборудование, должно уплатить штраф за простой, половину стоимости материала, расходуемого на ремонт, и четвертую часть трудозатрат на ремонт. Математическое ожидание штрафа за простой, стоимости материала и трудозатрат на ремонт равны соответственно 10 000, 5000 и 3000 рублей. Найдите математическое ожидание общей суммы затрат при выходе оборудования из строя.

31. В промежутке времени от 16 до 17 часов в понедельник может произойти или 0, или 1, или 2, или 3 автомобильные аварии; вероятности этого соответственно равны 0.94; 0.03; 0.02; 0.01. Найдите среднее число аварий:

А. В указанный промежуток времени;

Б. На протяжении 100 таких промежутков.

32. Испытывают техническое устройство, состоящее из трех приборов. Вероятности выхода из строя для этих приборов соответственно равны 0.1; 0.05; 0.15. Найдите математическое ожидание числа приборов, вышедших из строя.

33.Пусть X – число гербов, выпавших при подбрасывании одной симметричной монеты, а Y – число гербов, выпавших при подбрасывании двух симметричных монет. Сравните дисперсии случайных величин X и Y.

34. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа делителей произвольного наугад выбранного натурального числа из совокупности 1, 2, …, 20.

35. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа делителей произвольного наугад выбранного натурального числа из совокупности 10, 11, 12, …, 30.

36. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы делителей произвольного наугад выбранного натурального числа из совокупности 10, 11, 12, …, 30.

37. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы делителей произвольного наугад выбранного натурального числа из совокупности 1, 2, …, 20.

38. Для лечения некоторой болезни используют пять лекарств a, b, c, d, e. Врач проводит сравнительное исследование трех из этих пяти лекарств, выбирая три лекарства наугад. Обозначим через X случайную величину, принимающую значение 0, если a не попадает в выбранные лекарства, и 1 – в противном случае. Вычислите MX и DX.

39. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, которая принимает значения 1, 2, 3, …, n, каждое с вероятностью 1/n.

40. Трижды бросают или правильный игральный кубик с обычными числами очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 на гранях или правильный кубик, на гранях которого обозначены числа очков 1, 1, 1, 6, 6, 6. Найдите для обоих кубиков математические ожидания и дисперсии суммы числа выпавших очков.

41. Дисперсия каждой из девяти попарно независимых случайных величин равна 36. Найдите дисперсию среднего арифметического этих величин.

42. Дисперсия каждой из n, n> 1, попарно независимых случайных величин равна 10. Найдите дисперсию среднего арифметического этих величин.