Особенности функционально-графического метода решения показательных уравнений

Особенности функционально-графического метода решения показательных уравнений

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

Функция вида , где а конкретное число (положительное и отличное от 1), называют показательной функцией (аргумент х содержится в показателе степени).

Основные свойства показательной функции:

a>1	0<a<1


Возрастает	Убывает
Непрерывна	Непрерывна
Не является ни четной, ни нечетной	Не является ни четной, ни нечетной
Не ограничена сверху, ограничена снизу прямой у=0	Не ограничена сверху, ограничена снизу прямой у=0
Наибольшего и наименьшего значений не имеет	Наибольшего и наименьшего значений не имеет
Выпукласнизу	Выпукласнизу
Пересекает ось Оу в точке (0;1)	Пересекает ось Оу в точке (0;1)

График функции дляа>1 изображен на рисунке 1, а для 0<a<1 – на рисунке 2.

Показательными уравнениями называют уравнения вида

, где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.

Например:

, .

Рис. 1 Рис. 2

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В этих случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, чтоf(x)_мах=А, g(x)_м_in=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Пример: Решить графически уравнение

Решение:

В одной системе координат построим графики функций иу=7.

Абсцисса точки пересечения графиков является ответом.

Ответ: ≈ - 1,4.

Задания на применение графического метода.

Решить уравнения, пользуясь графиком функции :

а)

б)