БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ И ЕЁ СУММА.

БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ И ЕЁ СУММА.

Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же числоq, называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость: b_n₊₁=b_n⋅q

Числоqназывается знаменателем геометрической прогрессии.

Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то возможно найти любой член прогрессии.

b₂=b₁⋅q;

b₃=b₂⋅q=b₁⋅q⋅q=b₁⋅q²;

b₄=b₁⋅q³

и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу:

b_n = b₁⋅qⁿ⁻¹, где

n — порядковый номер члена прогрессии,

b₁ — первый член последовательности,

q — знаменатель.

Пример:

Вычислить первые пять членов геометрической прогрессии и написать формулу нахождения n-го члена, если b₁ = 8 и q=0,5.

b₁ = 8;

b₂=b₁⋅q = 8⋅0,5 = 4;

b₃=b₂⋅q = 4⋅0,5 = 2;

b₄=b₃⋅q = 2⋅0,5 = 1;

b₅=b₄⋅q = 1⋅0,5 = 0,5;

b_n = b₁⋅q_n₋₁;

b_n = 8⋅0,5_n₋₁.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Сумму первых n членов геометрической прогрессии S_n можно найти, если вычислить её члены b₁, b₂... b_n и затем их значения сложить.

Вычисляя сумму первых n членов геометрической прогрессии, удобнее использовать

1-ю формулу:

S_n =(b_n^.q−b₁)/(q−1), где

n — количество членов последовательности (порядковый номер),

b₁ — первый член последовательности,

b_n — n-ый член последовательности,

q — знаменатель.

Решая задачи, удобнее использовать 2-ю формулу:

Sn =b1(qn−1)/q−1.

Пример:

Вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b₁ =8 и q=0.5

I способ:

Рассмотрев первый пример, видим:

b₁ =8, b₂ = 4, b₃ = 2, b₄ = 1 и b₅ = 0.5

Сложив пять этих чисел, получим сумму (первых пяти членов последовательности):

S_n = S₅ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅ = 8+4+2+1+0.5 = 15.5

II способ:

Используется 1-я формула:

S_n =b_nq−b₁/q−1, где

n=5;

b₁ =8;

q=0,5;

b_n = b₅ =0.5 (т. к. n=5)

S₅ = (0.5⋅0.5−8)/(0.5−1) = 15.5

III способ:

Используется 2-я формула:

S_n =b₁(qⁿ−1)/q−1.

S₅ = 8⋅(0.5⁵−1)/0.5−1 = 15.5

Как видите, все три варианта решения приводят к одному и тому же результату. Сумма первых пяти членов прогрессии равна S₅ = 15.5

12 Следующая ⇒