Значения тригонометрических функций

Тема: Основные тригонометрические операции

План занятия:

1. Понятие тригонометрических операций

2. Операции нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Вопрос 1.Понятие тригонометрических операций

Рассмотрим окружность радиуса R = 1 с центром в начале координат, уравнение которой: x²+ y² = 1.

Пусть А– произвольная точка этой окружности, (x₀, y₀) – ее координаты, α – величина угла, образованного отрезком ОАс положительной полуосью Ох.

Иначе говоря, определение координат точек единичной окружности и обратное действие называются тригонометрическими операциями.

Вопрос 2.Операции нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Тригонометрические функции синус и косинус определяются формулами: sin α = y₀, cos α = x₀

Т.е. синус угла α равен вертикальной координате y0 точки А, а косинус угла α равен горизонтальной координате x0 точки А.

Эти определения согласуются с определениями синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике: синус угла α равен отношению противолежащего катета y₀ к гипотенузе, равной 1, а косинус угла α равен отношению прилежащего катета x₀ к гипотенузе, равной 1.

Найдём значения синуса и косинуса углов, соответствующих точкам, лежащих на координатных осях.

У точки, соответствующей углу 0°, координаты (1; 0), т.е. х₀ = 1, у₀ = 0.

Это означает, что sin 0° = 0, cos 0° = 1

У точки, соответствующей углу 90°, координаты (0; 1), т.е. х₀ = 0, у₀ = 1.

Это означает, что sin 90° = 1, cos 90° = 0

У точки, соответствующей углу 180°, координаты (–1; 0), т.е. х₀ = –1, у₀ = 0.

Это означает, что sin 180° = 0, cos 180° = -1

У точки, соответствующей углу 270°, координаты (0; –1), т.е. х₀= 0, у₀ = –1.

Это означает, что sin 270° = -1, cos 270° = 0

Дополнительными тригонометрическими операциями являются тангенс и котангенс

tg (x) = ctg (x) =

Значения тригонометрических функций

1) , cos 30° =

2) ,

3) ,

Аналогичные рассуждения можно провести для углов 120°, 135°, 150°, находящихся во второй четверти.

Найдём значения тригонометрических функций угла 150°. Этот угол соответствует углу 30° из первой четверти.

АОХ = , ВОХ = 150°

По чертежу видно, что у точек А и В координата у одинаковая и равна ,

т.е. sin АОХ = sin ВОХ =

А что же cos 150º? Это координата х точки В. Мы видим, что равны отрезки ОХ₁ и ОХ₂. Значит, координата х точки В по модулю такая же, как у точки А. Но т.к. В лежит слева от нуля, то координата х имеет знак «–».

Итак, если , то

И тогда sin 150º = sin = , cos 150º = - cos = ,

tg 150º = - tg = , ctg 150º = - ctg =

Значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента