Филиал Военной академии РВСН им. Петра Великого

Филиал Военной академии РВСН им. Петра Великого

(г. Серпухов Московской области)

Кафедра «Высшей математики»

ЛЕКЦИЯ №13. «Векторные и параметрические функции»

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ: _МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Автор: доцент Борисова В.И.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры
Протокол № 12 от «25» июня 2013 г.

Серпухов 2013г.

ЛЕКЦИЯ №13.

«Векторные и параметрические функции»

Учебные и воспитательные цели:

1. Дать определение векторных и параметрических функций. сформулировать правила их дифференцирования.

2. Развивать логическое мышление.

3. Формировать навыки ведения конспекта.

Время – 90 мин.

Учебные вопросы и расчет времени:

Вводная часть – 10 мин.

I. Основная часть – 75 мин.

1. Векторные и параметрические функции.

2. Дифференцирование векторных и параметрических функций.

II. Заключительная часть лекции – 5 мин.

литература:

М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин

Вся высшая математика. Том 1. Учебник. (линейная алгебра и аналитическая геометрия, введение в математический анализ). (рекомендовано Минобразования)задание на самоподготовку

задание на самоподготовку

1. Проработать материалы лекции по конспекту.

Лекция №13.

Векторные и параметрические функции.

Элементы дифференциальной геометрии.

В1. Векторные и параметрические функции, их дифференцирование.

В2. Элементы дифференциальной геометрии.

В1.

1. Векторная функция скалярного аргумента.

A(x, y, z)

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);

Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Запишем соотношения для некоторой точки t₀:

Тогда вектор - предел функции (t). .

Очевидно, что

, тогда

2. Производная векторной функции скалярного аргумента.

Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

; ;

или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то

Это выражение – вектор производная вектора .

Если имеется уравнение кривой:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(x_А, y_А, z_А) с радиус- вектором

можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то

3. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

2) , где l = l(t) – скалярная функция

Уравнение нормальной плоскостик кривой будет иметь вид:

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением в точке t = p/2.

Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

x(t) = cost; y(t) = sint; z(t) = ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:

x¢(t) = -sint; y¢(t) = cost;

x¢(p/2) = -1; y¢(p/2) = 0; z¢(p/2)=

x(p/2) = 0; y(p/2) = 1; z(p/2)= p /2

- это уравнение касательной.

Нормальная плоскость имеет уравнение:

4. Параметрическое задание функции.

Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t₁, t₂), (t₂, t₃), … , (t_k_-1, t_k) находим соответствующий интервал (x₁, x₂), (x₂, x₃), … , (x_k_-1, x_k) и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

5. Уравнения некоторых типов кривых в параметрической

форме.

Окружность.

Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее

точки могут быть найдены по формулам:

0 £ t £ 360⁰

Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

x² + y² = r²(cos²t + sin²t) = r²

Эллипс.

Каноническое уравнение: .

C M(x, y)

О N P

Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать: из DОВР и из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

где 0 £ t £ 2p

Угол t называется эксцентрическим углом.

Циклоида.

М К

О Р В pа 2pа х

Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = = at; PB = MK = asint;

ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

x = at – asint = a(t – sint).

Итого: при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

Если исключить параметр, то получаем:

Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

Астроида.

Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса a/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса a.