Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Вычислим значение дисперсии

для случайной величины Х, рассмотренной в примере 1.

По первой формуле:

По второй формуле:

Следует помнить, что, по своему определению, дисперсия — величина неотрицательная, т. е. .

2) Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

. ( -«сигма», буква греч. алфавита )

Характеристика вводится, чтобы иметь возможность указать разброс в той же размерности, что и сама случайная величина (т. к. дисперсия имеет размерность квадрата Х).

Для нашего примера = 0,81.

Среднеквадратическое отклонение имеет смысл абсолютной погрешности при замене Х ее математическим ожиданием.

3) Вариацией случайной величины Х называется отношение .

Вариация имеет смысл относительной погрешности.

7.4. Способы представления непрерывной случайной величины

Пусть НСВ (непрерывная случайная величина) Х принимает значения из некоторого промежутка .

Значения и , в зависимости от конкретных условий, могут быть различными, а сам промежуток может быть конечным (например, [–1,2]), полубесконечным (например, (- ,0] или [3, )) или бесконечным . Подразумевается, что .

Все значения, попадающие на , невозможно перечислить,

поэтому невозможно и указать, какие вероятности им соответствуют.

Чтобы охарактеризовать распределение вероятностей в этом случае, поступают так. На выделяют участок от до и находят отношение вероятности попадания на этот участок к длине участка:

представляет собой среднюю вероятность, приходящуюся на единицу измерения Х, вычисленную на участке .

По аналогии с плотностью (массой, приходящейся на единицу объема) она может быть названа средней плотностью вероятности. Средняя плотность вероятности зависит и от положения точки , и от длины участка . Чтобы исключить влияние , его стараются взять как можно меньшим, т. е. находят предел:

Функция называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности).

Она должна удовлетворять следующему требованию:

График функции плотности вероятности называется кривой распределения.

Как и для ДСВ, вводится понятие функции распределения: .

Между функциями и имеется тесная связь:

;

ü Итак, плотность вероятности является производной от функции распределения и, наоборот,

ü функция распределения является первообразной для плотности вероятности, ее можно найти по формуле:

В связи с этим,

называют иногда дифференциальной функцией распределения,

а — интегральной.

Свойства функции для НСВ аналогичны свойствам функции распределения для ДСВ.

С помощью функции распределения можно найти вероятность попадания значений случайной величины на промежуток :

7.5. Числовые характеристики НСВ

Числовые характеристики для НСВ те же самые, что и для ДСВ, и аналогичны им по смыслу, однако вычисляются несколько иначе.

1) Математическим ожиданием НСВ называется значение, определяемое следующей формулой: .

2) Модой НСВ называется значение Х, соответствующее максимуму функции . Если максимум один, то распределение называется унимодальным, если максимумов несколько, то полимодальным. Например, при двух максимумах распределение называется бимодальным.

3) Медианой НСВ называется ее значение, для которого выполняется условие: .

4) Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от М(Х), вычисляемое по формуле

Как и в случае с ДСВ, дисперсия может быть вычислена по более простой формуле:

5) Среднеквадратическое отклонение НСВ равно корню квадратному из дисперсии: .

6) Вариацией или коэффициентом вариации НСВ называется

отношение: .

Пример 2. Точку бросают наугад внутрь круга радиуса . Охарактеризовать случайную величину – расстояние от точки до центра круга.

Решение. Очевидно, что может принимать любые значения в промежутке . Чтобы найти вид функции , составим соответствующий предел.

Изменению значений от до соответствует попадание точки внутрь кольца, ограниченного окружностями с радиусами и . Вероятность попадания на этот участок согласно геометрическому определению вероятности равна отношению площади этого участка к площади всего круга:

Тогда .

Полученной формулой для плотности вероятности можно пользоваться, если . Для остальных значений аргумента она равна 0. Окончательно:

или

Найдём вид функции распределения, пользуясь формулой и учитывая, что функция плотности вероятности имеет различный вид на разных промежутках: а) , .