по курсу Высшая математика для потока Ф4

Экзаменационные вопросы

по курсу "Высшая математика" для потока Ф4

(лектор - А.С. Леонов)

1. Понятие. устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Устойчивость решения простейшей системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2. Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Исследование на устойчивость по первому приближению (без доказательства). Функция Ляпунова. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова.

3. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общий интеграл. Критерий первого интеграла.

4. Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и соответствующая характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Связь между их решениями.

5. Представление общего решения линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

6. Существование и единственность решения задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка (без доказательства). Представление решения квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

7. Линейное нормированное пространство. Сходимость в линейном нормированном пространстве. Примеры.

8. Банахово пространство. Полнота пространства С[а,в]. Примеры неполных линейных нормированных пространств.

9. Евклидово пространство и гильбертово пространство. Неравенство Коши - Буняковского. Нормируемость евклидова пространства.

10.Ортогональные и ортонормированные системы в евклидовом пространстве. Ряды Фурье по ортогональным и ортонормированным системам. Примеры. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Формула уклонений. Неравенство Бесселя.

11.Ортогональный и ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Свойство полноты ортогонального базиса. Обобщенное равенство Парсеваля.

12.Равномерная сходимость, поточечная сходимость, сходимость в среднеквадратичном. Их связь. Примеры.

13.Выражение частичной суммы тригонометрического ряда Фурье через ядро Дирихле. Лемма Римана.

14.Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье (без доказательства).

15.Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

16.Почленная дифференцируемость тригонометрического ряда Фурье. Влияние гладкости функции на скорость убывания ее коэффициентов Фурье.

17.Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими многочленами.

18.Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическими многочленами.

19.Полнота основной тригонометрической системы в пространстве кусочно-непрерывных функций. Ряды Фурье по системам синусов и по системам косинусов.

20.Комплексные ряды Фурье и их связь с рядами по основной тригонометрической системе для действительных функций. Полнота системы комплексных экспонент.

21.Интеграл Фурье и различные его формы. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье (без доказательства).

22.Преобразование Фурье и его свойства. Косинус- и синус-преобразование Фурье.

23.Линейный оператор в линейном нормированном пространстве. Непрерывность и ограниченность линейного оператора. Их связь. Непрерывность интегральных операторов Фредгольма и Вольтерры в пространствах непрерывных функций с различными нормами.

24.Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор. Операторы, сопряженные к интегральному оператору Фредгольма с непрерывным ядром. Самосопряженный интегральный оператор Фредгольма.

25.Классификация линейных интегральных уравнений. Теорема существование и теорема единственность решения интегральных уравнений Вольтерры второго рода.

26.Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, эквивалентность этого уравнения системе линейных алгебраических уравнений.

27.Альтернатива Фредгольма (доказательство для случая вырожденного ядра).

28.Теорема существование и теорема единственность решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра.

29.Характеристические числа, собственные значения и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметричным ядром. Их свойства. Ортогонализация системы собственных функций.

30.Теорема Гильберта - Шмидта для самосопряженного интегрального оператора Фредгольма (без доказательства). Формула Шмидта для решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром.

31.Функция Грина линейной краевой задачи, ее существование и единственность.

32.Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Теорема Гильберта о решении краевой задачи с помощью функции Грина.

33.Задача Штурма - Лиувилля. Ее эквивалентность однородному интегральному уравнению.

34.Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.

35.Условия положительности спектра задачи Штурма - Лиувилля