ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. ABCDEF – правильный шестиугольник. Выразить векторы и через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(-1, 1, 0) и B(1, 0, 2).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и ?

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(3, -1, 5), относительно точки A(4, -2, 3).

7. Вычислить , если , и

8. При каком значении l векторы , и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2, -3) параллельно прямой, соединяющей точки B (1, 2 ) и С (-1, -5 ).

10. Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины A(-1, 8) и уравнения диагоналей AC: , BD: .

11. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(2, 1, -1) параллельно плоскости .

12. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: а) A( 1, -2, 1) и B( 3, 1, -1); б) A(3, 0, -1) и B(-1, -1, 1).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку A(2, 3, 0).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по первой строке:

15. Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.

ВАРИАНТ 2

1. В параллелограмме ABCD , . Выразить через и векторы и , если М точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , , .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(1, -2, 7) и B(4, 2, 7).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и ?

6. Найти – момент силы = (4, 4, 4), приложенной в точке B(4, -2, 5), относительно точки A(5, -3, 3).

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, если , и .

8. При каком значении l векторы , и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) параллельно прямой, соединяющей точки B(-1, 0) и С(2, 3).

10. Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины A(0, 6) и уравнения диагоналей AC: , BD: .

11. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(1, -1, 0) параллельно плоскости .

12. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: а) A(0, -2, 3) и B (3, -2, 1); б) A (1, 2, -4) и B(0, 1, -1).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку A(1, 2, 3).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второй строке:

15. Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма-тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 3

1. В треугольнике ABC медианы и . Выразить через и вектор .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(2, -2, 0) и B(-2, 2, 2).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и ?

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(5, -3, 5), относительно точки A (6, -4, 3).

7. При каком значении a векторы и будут коллинеарны, если и не коллинеарны.

8. При каком значении l векторы = (1, 3, λ), = (4, 5, –1) и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2, -2) параллельно прямой, соединяющей точки B(-5, 4) и C(0, 2).

10. Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины A(-2, 10) и уравнения диагоналей AC: , BD: .

11. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(0, -1, -2) параллельно плоскости .

12. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: а) A(4, 5, 13) и B(-6, 0, 1); б) A(-11, 0, 10) и B( 1, 2, 3).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку A( 7, 5, 3).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьей строке:

.

15. Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма-тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 4

1. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно 2. Выразить вектор через и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора = (1, 2, 3) на ось вектора , если A (-3, 1, 4) и B(3, 3, 1).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и ?

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(6, -4, 5), относительно точки A (7, -5, 3).

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(-1, 2, 3), B(5, 1, 4) и C(3, 2, 2).

8. При каком значении l векторы , и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-3, 2) параллельно прямой, соединяющей точки B( 2, 1) и C(-5, -1).

10. В квадрате ABCD задана вершина A(-1, -1) и точка пересечения диагоналей K(1,5; 2,5). Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.

11. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .

12. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-щей через точку A(7, 3,-2) параллельно вектору =(1, 2,–1).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку A(-3, -5, 1).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по первому столбцу:

.

15. Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма-тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.

ВАРИАНТ 5

1. В треугольнике ABC точка М делит сторону AC на отрезки AM = 2 и MC = 3, а точка N делит сторону BC на отрезки BN = 3 и NC = 2. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(5, -5, 5) и B(5, 3, 1).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и ?

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(8, -6, -5), относительно точки A(9, -7, 3).

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, если , .

8. При каком значении l векторы , и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-2, -2) параллельно прямой, соединяющей точки B(0, 7) и С(7, 0).

10. В квадрате ABCD задана вершина A(1, 1) и точка пересечения диагоналей K(2,5; 3,5). Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.

11. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .

12. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(2, 0, 2) параллельно прямой: , , .

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку A(-1, -1, 0).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второму столбцу:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 6

1. В треугольнике ABC точка М делит сторону AC на отрезки AM = 1 и MC = 3, а точка N делит сторону AB на отрезки AN = 3 и NB = 2. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(2, -2, 1) и B(3, -1, 0).

5. Определить косинус угла между векторами и .

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(5, -6, 2), относительно точки A(9, 3, 1).

7. Найти площадь треугольника с вершинами A(2, 3, 4), B(1, 0, 6) и C(4, 5, -2).

8. При каком значении l векторы , и будут компланарны?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 6) перпендикулярно к прямой, соединяющей точки B(-1, 4) и С(-2, 3).

10. В квадрате ABCD задана вершина A(2, 2) и точка пересечения диагоналей K(3,5; 4,5). Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин .

11. Точка P(0, -1, -2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

12. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-щей через две заданные точки: а) A(3, -1, 2) и B(2, 1, 1); б) A(1, 1, -2) и B(3, -1, 0).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , , и точку A(2, 1, -3).

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьему столбцу:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.

ВАРИАНТ 7

1. В треугольнике ABC точка М делит сторону AB на отрезки AM = 1 и MB = 3, а точка N делит сторону BC на отрезки BN = 2 и NC = 3. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(-5, 7, -6) и B(7, -9, 9).

5. Вектор коллинеарен вектору . Найти , если .

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(9, -7, 5), относительно точки A(10, -8, 3).

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, если , и .

8. Лежат ли точки A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1) и D(2, 1, 3) в одной плоскости?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 3) перпендикулярно к прямой, соединяющей точки B(2, -1) и С(-8, 2).

10. Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(1,5; 3,5) и уравнение одной из его сторон . Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

11. Точка P(-2, 1, -2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

12. Через точки A(12, -6, 1) и B(-6, 6, -5) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координат-ными плоскостями.

13. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A(3, 0, 4) на плоскость p: .

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по первой строке:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 8

1. В ромбе ABCD точка М делит сторону BC на отрезки BM = 2 и MC = 3, а точка N делит сторону AD на отрезки AN = 4 и ND = 1. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A (1, 1, 1) и B(3, 3, 2).

5. Определить косинус угла между векторами и .

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(10, -8, 5), относительно точки A(11, -9, 3).

7. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и как на сторонах, если , и .

8. Лежат ли точки A(2,-1,-1), B(5, 5, 4), C(3, 2, -1) и D(4, 1, 3) в одной плоскости?

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-7, 1) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки B(0, -2) и С(7, 1).

10. Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон . Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C(3, 13, 7) перпендикулярно вектору , если A(-1, 0, 2) и B(2, 0, -1).

12. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-щей через две заданные точки: а) A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 3); б) A(0, 1, 2) и B(2, 0, 1).

13. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A(1, 1, 3) на плоскость p: .

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второй строке:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 9

1. В треугольнике ABC AK и BM – медианы. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(0, 0, 0) и B(4, 4, 2).

5. Определить косинус внутреннего угла при вершине A треугольника АВС, если A(1, 2, 1), B(3, -1, 1), C(0, 2, -1).

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(11, -9, 5), относительно точки A(12, -10, 3).

7. Найти a и β, при которых вектор коллинеарен вектору , если , .

8. Лежат ли точки A(0, 1, -2), B(-2, 4, 1), C(5, 3, 7) и D(4, 0, 3) в одной плоскости?

9. Найти точку A, симметричную точке B(-2, 1) относительно прямой .

10. Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон . Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору , если A(-1, 2,-3) и B(0, -1, 1)

12. Через точки A(0, -1, -2) и B(2, 1, 0) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координат-ными плоскостями.

13. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A(-3, 2, 2) на плоскость p: .

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьей строке:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.

ВАРИАНТ 10

1. В параллелограмме ABCD выразить векторы и через векторы и , если М – точка пересече-ния диагоналей параллелограмма.

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(1, 1, 1) и B(3, 5, 5).

5. Определить косинус угла между векторами и .

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(12, -10, 5), относительно точки A(13, -11, 3).

7. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору , если , , и .

8. Лежат ли точки A(- 1, -1, -1), B(1, -2, -2), C(0, -2, -1) и D(2, -3, -2) в одной плоскости?

9. Найти точку A, симметричную точке B(1, 2) относительно прямой .

10. Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 4,5) и уравнение одной из его сторон . Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, 2, 0) параллельно векторам = (1, –1, 0) и = (0, 4, –2).

12. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей и .

13. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A(3, 0, -2) на плоскость p: .

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по первому столбцу:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.

ВАРИАНТ 11

1. ABCDEF – правильный шестиугольник. Выразить через векторы и векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(-2, 3, -4), B(3, 2, 5), С(1, -1, 2) и D(3, 2, -4).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны, если и , .

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(5, -3, 1), относительно точки A(4, -2, 3).

7. Является ли четырехугольник с вершинами в точках A(2, -1, 3), B(1, 2, -1), D(-4, 7, 5) и C(-5, 10, 1) параллелограммом? Если - да, то найти его площадь.

8. Лежат ли точки A(-1, -1, -1), B(-2, 1, -2), C(-1, 0, -2) и D(3, 2, 1) в одной плоскости?

9. Определить острый угол между высотой и медианой треугольника ABC, проведенными из вершины A, если координаты вершин известны: A(-2, 3), B(5, 7) и C(-3, -2).

10. Найти площадь ромба и координаты его вершин, если одна из его сторон и одна из диагоналей лежат соответственно на прямых L₁: и L₂: , а длина диагонали равна 12. Сколько решений имеет задача?

11. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки A(1, 2, -1) и B(0, 3, 2) параллельно вектору = (3, 4, 7).

12. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей: и .

13. Найти проекцию точки A(1, 2, -3) на прямую, заданную как пересечение двух плоскостей: и .

14. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второму столбцу:

16. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение .

ВАРИАНТ 12

1. В треугольнике ABC точка М делит сторону AB на отрезки AM = 3 и MB = 1, а точка N делит сторону BC на отрезки BN = 3 и NC = 2. Выразить вектор через векторы и .

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Вычислить , если , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), С(0, 1, 2) и D(2, 3, 1).

5. При каком значении a векторы и будут ортогональны?

6. Найти – момент силы , приложенной в точке B(6, -4, 1), относительно точки A (5, -3, 3).

7. При каком значении a вектор ортогонален вектору , если и .

8. Лежат ли точки A(1, 1, 1), B(2, 0, 1), C(3, 1, -1) и D(4, -2, -2) в одной плоскости?

9. Определить острый угол между высотой и медианой треу-гольника ABC, проведенными из вершины A, если коорди-наты вершин известны: A(-1 ,1), B(6, 5) и C(-2, -4).

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(-4, 3, 2) и B(2, 1, -1) параллельно прямой .

12. Составить параметрические и канонические уравнени