Контакты

Случайная статья

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10 . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Касательная и нормаль к плоской кривой

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ

Сейчас будем рассматривать только сложные функции.

1. Пусть

2.

3. Для

4.

5.

6.

7. Пусть Тогда

Здесь функции дифференцируются в той последовательности, в которой они записаны.

8. Возьмем произведение Тогда

9. Пусть Тогда

10. Возьмем дробь

Тогда

11. Если то

Логарифмическая производная

12. Пусть Прологарифмируем это выражение. Получим

Это равенство легко дифференцировать:

и окончательно

Возьмем сложно-показательную функцию

Здесь и

13.

Производная обратной функции

Если для функции существует не равная нулю производная то производная обратной функции найдется как

14. Найти от функции Здесь

Производная функции, заданной параметрически

Здесь функция задается как система

Тогда

15. Возьмем систему У нас

и производная

16. Пусть После дифференцирования получим

После деления знаменатели сократятся и в итоге получим

Производная функции, заданной неявно

В этом случае и это выражение нужно дифференцировать по х, считая у функцией от х.

17. Возьмем уравнение Дифференцируя это равенство по х, получим

Отсюда

18. Пусть Тогда

и производная

Касательная и нормаль к плоской кривой

Для графика функции в точке касания уравнения касательной и нормали имеют вид:

19. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с ординатой y=3.

Вначале найдем абсциссу точки касания. При y=3

уравнение запишется как Это уравнение имеет только один действительный корень х=-1. Таким образом, точкой касания будет (-1, 3).

Продифференцируем по х исходное уравнение:

В точке касания Это угловой коэффициент касательной. Составим уравнение касательной как

Уравнением нормали будет

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.