Контакты

Случайная статья

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕЕ 15. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕЕ 15

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Интегрирование простейших дробей

1.

2.

3.

Отсюда видим, что можно сделать подстановку t=x+2.

Ее можно также получить как

Интеграл примет вид:

4. В четвертом случае применяют интеграл

Например,

Интегрирование рациональных функций

1. Найдем

Применим метод неопределенных коэффициентов.

Теперь нам нужно вычислить интегралы

2. Вычислим Тогда

Тогда

Дальше нам нужно найти

Интегрирование тригонометрических функций

1.

Здесь можно было сделать подстановку t=cosx.

2.

3. Интеграл относится к тому типу, когда в него входят В этом случае делают подстановку tgx=t. Тогда

Данный интеграл примет вид:

4. Сделаем подстановку tg7x=t. Тогда

Придем к интегралу

5. Если в интеграле перед dx стоят sinx или cosx в четных степенях, то полагаем

6. Здесь нужно применить тождество

В данном случае получим интеграл

Если рассмотренные случаи не подходят, то применяем универсальную тригонометрическую подстановку Здесь

7. Рассмотрим интеграл

Интегрирование иррациональных функций

Если в подинтегральной функции один корень, то его обычно полагаем равным новой переменной.

1. В интеграле нужно сделать подстановку и

Получим интеграл

В примерах с корнем из квадратного трехчлена

часто делают подстановку

Затем задача может привести к интегралам, содержащим следующие квадратные корни:

Для извлечения корней в первом случае делают подстановку x=a sint, во втором - x=a/cost, в третьем -

x= a tgt.

2. Нужно делать подстановку x=a cost. Тогда

Кроме того, Интеграл примет вид:

Вернемся к х. Тогда получим, что

3. С помощью этой формулы легко вычислить интеграл

4. Вычислим Здесь делают подстановку

Получим интеграл

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.