Многогранник и его элементы. Призма

Многогранник и его элементы. Призма

План лекции

Вопрос 1. Многогранник и его элементы.

Вопрос 2. Призма. Прямая и правильная призмы.

Вопрос 3. Площадь боковой и полной поверхностей призмы

Вопрос 1. Многогранник и его элементы.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC.

2. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов.

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁.

Вопрос 2.Призма. Прямая и правильная призмы.

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

В призме ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁ – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, CC₁D₁D, DD₁F₁F, FF₁A₁A. А боковыми ребрами – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, FF₁.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

На рисунке HH₁ – высота призмы.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁.

Пусть боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.

Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

Вопрос 3. Площадь боковой и полной поверхностей призмы

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней.

S_полн = S_бок + 2S_осн

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок=P⋅h

Рассмотрим понятие объема. Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами 1×1×1 ед3, где ед — некоторая единица измерения). Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет свойства, схожие со свойствами площади.

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см3 (кубические сантиметры), м3 (кубические метры) и т.д.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы

V_призмы=S_осн⋅h