ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Найти направляющие косинусы вектора , если даны две точки A(5, -1, 4), B(3, 2, 1).

Здесь Модуль этого вектора

Направляющие косинусы вектора будут равны:

Легко проверить, что

2. Найти x и y, если векторы =( 5, 4x+1,2) и

=(10, 2, 3y) коллинеарны.

В этом случае соответствующие проекции векторов пропорциональны:

3. Найти единичный вектор для вектора

Модуль этого вектора

Единичный вектор

Модуль этого вектора равен 1. Проверьте это.

4. Даны координаты точки А(2, 5, -1). Найти координаты точки В, если вектор

Пусть неизвестная точка имеет вид B(x, y, z). Построим снова по двум точкам вектор Здесь из координат конечной точки вычитали координаты начальной точки. Приравнивая координаты одного и того же вектора при ортах, получим: x-2=3, y-5=-1, z+1=2 и окончательно x=5, y=4, z=1.

5. Найти косинус угла между векторами

Скалярное произведение двух векторов

Отсюда

Угол между векторами острый, так как

6. Найти проекцию вектора на вектор , если

Расчет будем вести по следующей формуле

Вектор Складывая из, получим

7. При каком значении параметра векторы

перпендикулярны?

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, т.е .

Из последнего равенства найдем, что m= -2.

8. Найти векторное произведение векторов

площади параллелограмма и треугольника, построенных на этих векторах. Векторное произведение этих векторов

Модуль полученного вектора равен

Площадь параллелограмма площадь треугольника

9. Вычислить площадь треугольника , если его вершинами являются точки A(2,0,-3), B(1,3,-2), C(3,-1,2). Найдем векторы, проведенные из точки А:

Их векторное произведение

Модуль этого вектора равен

Искомая площадь треугольника равна половине этой величины, т.е.

10. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах если единичные векторы, образующие угол

Вначале найдем векторное произведение

Площадь параллелограмма равна модулю этого векторного произведения:

11. Вычислить высоту параллелограмма, проведенную из конца вектора , если параллелограмм построен на векторах

Векторное произведение

Площадь параллелограмма есть модуль этого вектора

С другой стороны, эта же площадь равна произведению высоты на длину основания, т. е.

Отсюда искомая высота определится как

12. Найти смешанное произведение трех векторов

объемы параллелепипеда и пирамиды, построенных на этих векторах.

Вначале найдем смешанное произведение этих векторов

Объем параллелепипеда

13. Найти высоту треугольной пирамиды из предыдущего примера, опущенную из конца вектора

Объем пирамиды Векторное произведение

а площадь основания

Высота

14. Проверить, лежат ли 4 точки A(1,1,3), B(-1,-1,-1), C(2,0,3),

D(0,1,2) в одной плоскости?

Эта задача на компланарность векторов. Данные 4 точки будут лежать в одной плоскости только тогда, когда векторы

будут компланарны. Найдем эти 3 вектора:

Их смешанное произведение

Следовательно, векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.