Политропные процессы
Политропные процессы
Политропными называются ТД процессы, у которых закон распределения энергии характеризуется условием в течение всего процесса. Т.е. основными характеристиками политропного процесса являются уравнения и .
Все ранее рассмотренные процессы являются политропными, но с явно выраженными внешними признаками в виде , , или . В общем случае таких признаков может не быть. Политропные процессы подчиняются уравнению , где – показатель политропного процесса; – теплоёмкость политропного процесса. Уравнение политропного процесса является обобщающим уравнением для всех ТД процессов с постоянным законом распределения энергии, в том числе для ранее рассмотренных.
Для изохорного процесса уравнение можно представить в виде , т.е. что может быть получено только при . Для изобарного процесса уравнение может быть получено из уравнения политропы в случае, если , т.к. , и, следовательно, . Для изотермического процесса ( ) ; для адиабатного ( ) .
Способ построения политропных процессов такой же, как и адиабатных.
Формулы соотношения параметров выводятся так же, как для адиабатного процесса, т.е. являются следствием уравнений и , но показатель заменён показателем :
Формулы работы в политропных процессах будут также аналогичны формулам в адиабатном процессе только вместо показателя в них будет показатель . При этом получим:
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image106.png)
Кроме того, работа в политропном процессе может быть определена по характеристическому уравнению .
Формула теплоёмкости политропного процесса
Из формулы находим , откуда или
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image109.png)
Подставляя в уравнение различные значения , получим формулы теплоёмкости основных процессов:
Изохорный процесс ( ): Представим полученное уравнение для теплоёмкости в виде
Следовательно, .
Изобарный процесс ( ): Подставляя значение в уравнение, получим
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image115.png)
Изотермический процесс ( ):
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image117.png)
Адиабатный процесс ( ):
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image119.png)
Коэффициент , характеризующий закон распределения энергии в политропных процессах, также можно выразить через показатель политропы . Из уравнения следует, что . Подставляя в это уравнение значение , получим
Изменение внутренней энергии в политропных процессах определяется так же, как и во всех процессах по уравнению или по характеристическому уравнению
Внешняя теплота, участвующая в политропных процессах, определяется либо по первому закону термодинамики , либо по уравнениям
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image126.png)
Взаимное расположение изотермы и адиабаты в v-p координатах
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image127.png)
Определение показателя политропы n
Для определения характеристик политропного процесса необходимо знать значение показателя политропы . Если в координатах p-vдана политропа, то по её виду и расположению можно определить показатель политропы . Если же нанесён произвольный процесс (рис.4.16), то прежде, чем определить , необходимо проверить, подчиняется ли он закономерностям политропного процесса.
Рис. 4.16.
|
Рис. 4.17.
| Для этого воспользуемся тем геометрическим свойством политропного процесса, что изображение его в координатах – прямая линия. Логарифмируя уравнение , находим и получаем уравнение прямой в lg-координатах. Для построения этой прямой достаточно знать две точки. Пусть , тогда (рис.4.17). А при имеем или . Видно, что . Т.е. при построении политропного процесса в координатах lg(v)–lg(p)тангенс наклона прямой к оси lg(v) численно равен показателю политропного процесса. В зависимости от константы, определяемой выбором начальной точки, и показателя , определяющего характер процесса, прямые lg(p)+γlg(v)=lg(c) изображаются, как показано на рис. 4.17 и 4.18.
Рис. 4.18.
|
Рис. 4.19.
| Пусть теперь задана некая кривая в p-v координатах. Чтобы определить, является ли она политропой, наносим в координатах lg(v)–lg(p) точки A1 и B1 с координатами lg(p1), lg(v1) и lg(p2), lg(v2), т.е. начальную и конечную точки процесса. Проводим через эти точки прямую. Берём в системе p-v любую точку D, лежащую на кривой AB и имеющую координаты v3, p3, и наносим точку D1 с координатами lg(v3) и lg(p3) в логарифмической системе координат. Если эта точка попадает на прямую A1B1, то это указывает на то, что кривая в p-v координатах изображает политропный процесс, если же не попадает, то не является. Подводя итог, можно сделать следующий вывод: если кривая какого-либо процесса, изображённая в p-v координатах, при её изображении в системе lg(v)–lg(p) координат принимает вид прямой, то процесс, изображённый этой кривой, будет политропным.
Показатель политропы можно вычислить, применяя формулы соотношения параметров политропного процесса. Логарифмируя соотношение
![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image141.png)
Исследование политропных процессов
Основными задачами исследования являются выявление типичных групп политропных процессов и определение их особенностей и характеристик. Рассмотрим графики основных процессов в координатах v-p (рис.4.22) и выявим типичные особенности политропных процессов по характеру изменения Δu и Q.
Рассмотрим сначала изменение внутренней энергии в политропных процессах. В изотермическом процессе при T=const (жирная линия на рис.4.22) внутренняя энергия не меняется (Δu=0). Очевидно, что во всех других случаях внутренняя энергия или уменьшается, или увеличивается. Если в области расширения от точки A идти вверх по направлению стрелки, то встречается процесс изобарного расширения, протекающий с ростом внутренней энергии (Δu>0). Если же от точки A идти по направлению стрелки вниз, то встречается адиабатный процесс расширения, идущий с уменьшением внутренней энергии (Δu<0).
В области сжатия, двигаясь от точки B вверх, встречается адиабатный процесс сжатия, протекающий с ростом внутренней энергии (Δu>0), а при движении вниз от точки B – изобарный процесс сжатия, протекающий с уменьшением внутренней энергии (Δu<0). Таким образом,
|
Рис. 4.22.
| изотермический процесс делит политропные процессы, выходящие из одной точки, на две группы:
- политропные процессы, лежащие выше изотермы, как в области расширения, так и в области сжатия, протекают с ростом внутренней энергии газа (Δu>0);
- политропные процессы, лежащие ниже изотермы, как в области расширения, так и в области сжатия, протекают с уменьшением внутренней энергии газа (Δu<0).
Рассмотрим подробнее изменение Δu при расширении. Проведём из точки 1 (рис.4.23) изотерму T1-const. Изотермы, лежащие выше неё, имеют большую температуру, изотермы, лежащие ниже – меньшую. Если политропный процесс лежит выше изотермы, температура газа в нём будет расти (т.к. при движении вдоль кривой этого процесса будут пересекаться изотермы всё больших температур), следовательно, внутренняя энергия в процессе увеличивается. Итак, в области от процесса подвода тепла при v=const до процесса расширения при T1=const выполняется условие Δu>0.
Если политропный процесс расширения лежит ниже изотермы расширения, имеющей ту же начальную точку 1, то температура газа в политропном процессе падает (т.к. при движении вдоль кривой этого процесса пересекаются изотермы всё меньших температур), следовательно, внутренняя энергия в этом процессе будет уменьшаться. Итак, в области расширения
|
Рис. 4.23
| при T1=const до процесса отвода тепла при v=const будет выполняться условие Δu<0.
Рассмотрим, как меняется Δu=u2-u1 при движении от процесса T1=const к процессу подвода тепла при v=const (направление показано стрелкой ml) и при движении от процесса T1=const к процессу отвода тепла при v=const (стрелка mr). Пусть расширение газа происходит до объёма v2 (ограниченного, например, ходом поршня). При движении в направлении ml конечные температуры газа в политропных процессах возрастают, а начальная температура T1 останется постоянной. Следовательно, Δu растёт. Т.е. чем выше политропа по отношению к изотерме, проходящей через ту же начальную точку, тем больше растёт внутренняя энергия газа при одной и той же разности (v2-v1).
Аналогично можно показать, что чем ниже политропа относительно изотерме, проходящей через ту же начальную точку 1, тем более уменьшается внутренняя энергия газа при одной и той же (v2-v1).
Проанализируем зависимость знака теплоты от показателя . При адиабатном процессе ( ) теплота не подводится и не отводится, Q=0 (жирная линия на рис.4.24). Очевидно, что во всех остальных процессах теплота участвует в процессе.
Если от точки C в области расширения двигаться вверх по стрелке, то встретятся изотермический и изобарный процессы расширения, протекающие с подводом внешнего тепла (Q>0).
Если двигаться от точки C вверх, то будем приближаться к предельному процессу v=const с отводом тепла ( ).
В области сжатия, двигаясь от точки D вверх по направлению стрелки, будем приближаться к предельному процессу v=const с подводом тепла ( ); если двигаться вниз от точки D, то встретятся изотермический и изобарный процессы сжатия, протекающие с отводом тепла (Q<0).
|
Рис. 4.24.
| Таким образом, политропы, лежащие выше адиабаты в области расширения и сжатия протекают с подводом тепла (Q>0). Политропы ниже адиабаты в области расширения и сжатия – с отводом (Q<0).
Исследование зависимости Δu и Q от позволяет выделить три типичных группы политроп I, II и III, положение которых в координатах v-p приведено на рис.4.25 (область расширения) и 4.26 (сжатия):
Рис. 4.25.
|
Рис. 4.26.
| - первая группа политропных процессов располагается в области ![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image148.png)
- вторая группа политропных процессов располагается между изотермическим и адиабатным процессами, т.е. в области ![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image149.png)
- третья группа политропных процессов располагается в области ![](https://helpiks.su/imgart/baza3/3890229495471.files/image150.png)
|