Примеры решения задач. Решение.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим необходимый признак сходимости.

, следовательно ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом =

Этот ряд сходится как ряд Дирихле, при .

Поскольку - конечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Даламбера. Записываем n-ый член ряда:

(n+1)-ый член получим, если в выражении везде n заменим на (n+1):

Найдем предел отношения:

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение.Здесь удобно применить радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится.

Пример 5.Исследовать сходимость ряда

Решение.Рассмотрим функцию

Она при x³2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. (Заметим, что эта функция получается из выражения общего члена ряда при замене n на x). Можно применять интегральный признак. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

Из интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Пример 6.Исследовать сходимость ряда

Решение.Данный ряд знакочередующийся, т.к.

Исходный ряд можно переписать в виде

Рассмотрим сначала ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда:

Сравним его с гармоническим рядом 1+ + +…+ +…, о котором известно, что он расходится. Так как , то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям: во-первых, монотонного убывания абсолютных величин членов ряда, во-вторых, общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, ] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, … выполняются неравенства, а также необходимое условие:

Окончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.

Пример 7.Найти область сходимости степенного ряда

Решение. В развернутом виде ряд выглядит следующим образом

Коэффициенты ряда:

Найдем радиус сходимости

Заключаем, что интервал сходимости .

Исследуем далее сходимость степенного ряда в граничных точках интервала:

а) при x= получим числовой положительный ряд:

Этот ряд расходится, что видно из сравнения его с гармоническим рядом.

б) при x= получим знакочередующийся ряд:

Члены этого ряда удовлетворяют условиям теоремы Лейбница:

Знакочередующийся ряд сходится, т.е. при X = степенной ряд сходится и окончательно область сходимости степенного ряда определяется неравенствами £ X < .

Пример. Исследовать сходимость ряда