Контакты

Случайная статья

Частные производные высших порядков

4. Частные производные высших порядков

Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.

Определение. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

= ; = ;

= ; = .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

, и т. д.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные .

Теорема Шварца. В случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции:

Дифференцируя и по переменным х и y, получим

,

;

;

.

5. Дифференциалы высших порядков

6. Дифференцирование неявных функций

7. Дифференцирование сложных функций

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.