Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье

Цель работы: научиться обрабатывать сигналы с помощью прямого и обратного Дискретного Преобразования Фурье.

Руководство по лабораторной работе

Для выполнения лабораторной работы Вам необходимо повторить материалы соответствующих лекций.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Анализируемые сигналы могут быть представлены во временной или частотной области. Для перехода от одной области представления сигнала к другой используется преобразование Фурье. Математическая запись прямого преобразования Фурье (уравнение анализа) выглядит следующим образом:

, где

ReX[k] – амплитуда соответствующей косинусной составляющей сигнала, ImX[k] – амплитуда соответствующей синусной составляющей сигнала, x[i] – текущий входной отсчет сигнала, k – номер гармонической составляющей.

Математическая запись обратного преобразования Фурье (уравнение синтеза) выглядит следующим образом:

Частотную характеристику системы можно получить с помощью прямого преобразования Фурье ее импульсной характеристики. Для большей наглядности, частотную характеристику системы лучше представлять в полярной системе координат (амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики).

ЗАДАНИЕ

· 1. В среде MATLAB создайте три тестовых сигнала содержащих по 32 отсчета во временной области – одиночный импульс (любой формы, кроме прямоугольной), гармонический сигнал, последовательность прямоугольных импульсов. Создайте М-файл, выполняющий прямое преобразование Фурье тестовых сигналов корреляционным методом. Постройте графики полученных спектральных составляющих сигналов в полярной системе координат. Выполните обратное преобразование Фурье (не забудьте о нормировке коэффициентов) и сравните полученный результат с исходными сигналами.

· 2. Создайте М-файл, преобразующий заданные импульсные характеристики системы в частотные характеристики. Проверьте его работу с тестовыми импульсными характеристиками (постройте графики импульсной характеристики и соответствующей ей частотной характеристики):

h1 = [-0.048 0.032 0.066 0.016 -0.076 -0.042 0.184 0.417 0.417 0.184 -0.042 -0.076 0.016 0.066 0.032 -0.048 ];

h2 = [0.011 0.078 -0.009 -0.064 -0.02 0.115 0.11 -0.484 0.484 -0.11 -0.115 0.02 0.064 0.009 -0.078 -0.011];

h3 =[-0.012 -0.094 0.01 0.125 0.034 -0.161 -0.098 0.151 0.151 -0.098 -0.161 0.034 0.125 0.01 -0.094 -0.012].

Какой тип устройства описывает каждая импульсная характеристика? Расширьте каждую импульсную характеристику добавлением к ней 16 нулевых отсчетов. Проверьте, каким образом данное расширение отразилось на частотной характеристике системы.

3. Самостоятельно исследуйте встроенные функции fft и ifft пакета MatLab. Для этого сгенерируйте сложный сигнал, состоящий из нескольких гармонических составляющих. Каким образом изменяется спектр сигнала, если к тестовому сигналу добавлять белый шум?

4. Докажите экспериментально, что операции свертка во временной области соответствует операция умножения в частотной области.