ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА

§3. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА

Опред. 1. Отношение R на множестве Х называют отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

Примеры отношений эквивалентности: на множестве студентов ИПиП «обучаться в одной группе», на множестве комсомольчан R- «проживать в одном доме», на множестве всех треугольников задано отношение «быть подобными», на множестве чисел «быть равными».

Любое отношение эквивалентности разбивает множество элементов на классы эквивалентности, обладающие свойствами:

1. Каждый класс не пуст;

2. Классы не пересекаются;

3. Объединение классов дает само множество.

Например, на множестве треугольников задано отношение «быть подобными». Это отношение разбивает все множество треугольников на классы подобных между собой треугольников. Отношение «обучаться в одной учебной группе»разбивает множество студентов института на учебные группы.

Опр.Отношение R заданное на множестве Х и обладающее свойствами рефлективности, антисимметричности и транзитивности называется отношением порядка.

Примерами отношения порядка являются: быть не меньше на множестве чисел, быть не моложе на некотором множестве людей, не выше ростом и т.д.

Опр.Если отношение R обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то оно называется отношением строгого порядка.

Примерами отношения строгого порядка являются: быть меньше на множестве чисел, быть моложе на некотором множестве людей, быть выше ростом и т.д.

Опр.Множество, на котором задано отношение порядка (строгого или нестрогого) называется упорядоченным множеством.

Вопросы для самопроверки.

1. Дать определение отношения на множестве. Привести примеры.

2. Какими свойствами могут обладать отношения?

3. Дать определение отношения эквивалентности. Привести примеры.

4. Какими свойствами обладают отношения порядка? А отношения строгого порядка?

⇐ Предыдущая 12