Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Тема: Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа.

План занятия:

1. Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Вопрос 1. Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Пусть x и y - произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде z = x + i y, где использован символ i , называемый мнимой единицей.

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

Сложение и вычитание комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x₁ + i y₁ и x₂ + i y₂ , т.е. в соответствии с формулами

z₁ + z₂ = x₁ + i y₁ + x₂ + i y₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂),

z₁ – z₂ = x₁ + i y₁– (x₂ + i y₂) = x₁– x₂ + i (y₁– y₂).

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид: i ² = – 1 .

По этой причине

z₁ z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = x₁x₂ + i x₁y₂ + i y₁x₂ + i ² y₁y₂ =
= x₁x₂ + i x₁y₂ + i y₁x₂ – y₁y₂ = x₁x₂ – y₁y₂ + i (x₁ y₂ + i x₂y₁) .

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле:

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) , (1)

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (1) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 1. Сложить два комплексных числа ,

Решение: Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Пример 2. Найти произведение комплексных чисел ,

Решение: Получаем и раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

Пример 3. Даны комплексные числа , . Найти частное .

Решение: Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем примере). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!).