тогда получаем

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения Сегодня мы рассмотрим еще несколько тригонометрических формул, которые позволяют сумму (разность) синусов или косинусов разложить на множители. Эти формулы вам пригодятся при решении тригонометрических уравнений.

Первая формула - СУММА СИНУСОВ.

Рассмотрим выражение sin(s + t) + sin(s - t) , где s и t аргументы тригонометрических сункций.

Применим уже известные формулы синус суммы и синус разности:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

тогда выражение sin(s + t) будет иметь вид sin s cos t + coss sin t

а выражение sin(s - t) будет иметь вид sin s cos t - coss sin t,

тогда получим:

sin(s + t) + sin(s - t) = (sin s cos t + coss sin t) + (sin s cos t - coss sin t)

Раскрываем скобки:

sin s cos t + coss sin t+ sin s cos t - coss sin t

проводим вычисления:

coss sin t- coss sin t=0

sin s cos t + sin s cos t = 2 sin s cos t.

sin(s + t) + sin(s - t) = (sin s cos t + coss sin t) + (sin s cos t - coss sin t)=sin s cos t + coss sin t + sin scos t - cos ssin t =2 sin s cos t.

Таким образом получим, что выражение sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t.

Введем новые переменные х= s + t и у= s – t.

Сложим почленно эти равенства, то получим

х +у = s + t + s – t.

х +у = 2s

Найдем значение s

s = .

Во втором случае вычтем почленно эти равенства и получим

х -у = s + t - (s – t)

х -у = s + t - s + t

х - у = 2t

Найдем значение t

t = .

В выражении sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t

заменим s и t на введенные нами новые переменные:

s + t заменим на х

s – t заменим на у

s на

t на .

Тогда получим:

sinх + sinу= 2 sin cos

(сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности).

Пример.

sin 7х + sin3х =2 sin cos =2 sin 5х cos 2х.

Вторая формула – РАЗНОСТЬ СИНУСОВ.

Для того, чтобы мы смогли применить уже выведенную формулу суммы синусов двух аргументов sinх + sinу= 2 sin cos

Воспользуемся тем, что синус – функция нечетная, т.е. - sin у = sin (- у),

sin х - sin у = sin х + sin(- у)

Теперь применим формулу суммы синусов, получим

=2 sin cos = 2 sin cos .

sin х - sin у = sin х + sin(- у) =2 sin cos = 2 sin cos .

Следовательно, получили формулу разность синусов:

sin х - sin у =2 sin cos (разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих аргументов на косинус их полусуммы).

Пример. Упростить выражение sin 77° - sin 17°.

sin 77° - sin 17° =2 sin cos = 2 sin cos 47º.

(так как sin 30º = , то)= 2 ∙ ∙ cos = cos .

Третья формула – СУММА КОСИНУСОВ.

Для выражения cos (s + t) + cos (s - t) применим уже известные нам формулы косинус суммы и косинус разности:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

В выражение cos (s + t) + cos (s - t) подставим значения из формул и получим:

cos (s+ t)+ cos(s - t) = cos s cos t - sin s sin t + cos scos t + sin s sin t =2 cos s cos t

Значит cos (s+ t)+ cos(s - t) =2 cos s cos t

Введем новые переменные х= s + t и у= s – t. Как при выведении формулы СУММЫ СИНУСОВ.

s + t заменим на х

s – t заменим на у

s на

t на .

И получим формулу суммы косинусов

cos х+ cosу =2 cos cos

(сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности).

Пример. Упростить выражение cos (х+2у) + cos(3х - 2у).

cos (х+2у) + cos(3х - 2у) = 2 cos cos =

=2cos 2х cos( - х + 2у)= 2cos 2х cos( -( х - 2у)) ( а так как cos( - t) = cos t, то)=

= 2cos2х cos(х - 2у).

Четвертая формула – РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ.

Для выражения cos (s + t) - cos (s - t) применим уже известные нам формулы косинус суммы и косинус разности:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, получим

cos (s+ t) - cos(s - t) = cos s cos t - sin s sin t- cos scos t - sin s sin t = - 2sin s sin t. Введем новые переменные х= s + t и у= s – t, значит, s = и t = . Подставив введенные обозначения в формулу:

cos (s+ t) - cos(s - t) = - 2sin s sin t, получим формулу разность косинусов:

cos х – cos у = –2sin sin (разность косинусов двух аргументов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на синус их полуразности).