Подведение под знак дифференциала.

Подведение под знак дифференциала.

Для подведения под знак дифференциала воспользуемся:

а) формулой ;

б) свойством инвариантности формул интегрирования: если , то и , где - функция, имеющая непрерывную производную.

Запишем таблицу дифференциалов основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ; 4а. ;

5. ; 5а. ;

6. ; 6а. ;

7. ; 7а. ;

8. ; 8а. ;

9. ; 9а. ;

10. ; 10а. ;

11. ; 11а. ;

12. ; 12а. ;

где и - числа.

Воспользовавшись свойством инвариантности формул интегрирования и таблицей дифференциалов функций, покажем, как можно свести интеграл к табличному.

1. Приводим к интегралу от степенной функции:

а) ,

здесь , т.е. интеграл привели к виду - интегралу от степенной функции.

Вообще: .

б) ;

Вообще:

в) ;

г) .

2. Интегралы от тригонометрических функций ; и т.д.

а) ;

б) ;

Вообще: и т.д.

3. Интегралы от показательной функции

а) ;

Вообще: .

б) .

4. Приводим к табличному интегралу .

а) ;

Вообще: .

б) .

Вообще, если в подынтегральной функции в числителе стоит производная знаменателя, то в общем виде решение можно записать так: .

5. Интегралы вида ; и т.д.

а) ;

Если в знаменателе стоит квадратный трехчлен, то необходимо выделить полный квадрат по интегрируемой переменной, т.е. представить его в виде , а затем воспользоваться формулой :

Таким же образом можно выделить полный квадрат по интегрируемой переменной, если квадратный трехчлен стоит под квадратным корнем (в числителе или в знаменателе), например:

б) .