МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет)

Кафедра алгебры

и математической логики

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Методические указания

к домашней контрольной работе

по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Часть 2

Москва

Составители: канд. физ.-мат. наук И.К. Бусяцкая;

канд. физ.-мат. наук К.К. Андреев

УДК 512.8

Линейные операторы: Метод. указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2 / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: И.К. Бусяцкая, К.К. Андреев. М., 2006. – 23 с.

На конкретных примерах излагаются способы решения задач домашней контрольной работы по теме «Линейные операторы». Приводится ряд дополнительных сведений из теории линейных операторов, некоторые из которых доказываются, а некоторые предоставляются для доказательства студентам.

Для студентов групп М-21 – 26, ЭМ-21 первого курса ФПМ и групп МЭ-21, 22 первого курса ФЭМ.

ISBN

Условия задач

Задача № 2

Общие условия ко всем вариантам

Дана матрица A, которая является матрицей оператора j в стандартном базисе пространства R³.

1. Найти собственные числа и собственные векторы оператора j.

2. Убедившись в существовании базиса пространства R³, состоящего из собственных векторов оператора j, записать матрицу оператора j в таком базисе.

3. Указать матрицу перехода к новому базису из собственных векторов и проверить справедливость формулы, связывающей матрицы оператора в разных базисах.

Условия вариантов

(матрица A)

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. . 28. .

29. . 30. .

§7. Инвариантные подпространства. Собственные векторы

Пусть j – линейный оператор в пространстве V; e₁, …,e_n – некоторый фиксированный базис этого пространства. Тогда, как мы видели выше (см. § 2 первой части, стр. 10–11), j(x) = А_j· , где А_j − матрица оператора j в данном базисе, а − столбец из координат вектора x в том же базисе.

Определение. Линейное подпространство L Í V называется инвариантным подпространством оператора j, если из x Î L следует j(x) Î L.

Примеры.

1. V = R³, j – нулевой оператор, L – линейное подпространство V. Если x Î L, то j(x) = 0 Î L. Следовательно, в этом случае любое линейное подпространство инвариантно.

2. V = R², j = id – тождественный оператор. Здесь также любое линейное подпространство инвариантно.

3. V = R³, j – ортогональное проектирование на плоскость OXY (см. рис. 2 в первой части). Опишем инвариантные подпространства: всё пространство; нулевое подпространство; плоскость OXY; прямые, лежащие в плоскости OXY и проходящие через начало координат; ось OZ; плоскости, проходящие через ось OZ.

4. V = R², j – оператор поворота на угол a (см. рис. 1 в первой части). Если a ¹ kπ, то нетривиальных (т.е. отличных от V и от {0}) инвариантных подпространств нет. Если a = kπ, то все линейные подпространства инвариантны.

5. Пусть j – произвольный линейный оператор в V, L₁ = Ker j, L₂ = = Im j. Тогда линейные подпространства L₁и L₂инвариантны (это вытекает из их определения − докажите!).

6. Пусть V – линейное пространство, в котором действует линейный оператор j, L₁и L₂ – инвариантныеподпространстваоператора j. Пусть также V = L₁ Å L₂, т.е. для любого вектора v из V имеем: v = x + y, x Î L₁, yÎ L₂, L₁ Ç L₂ = {0}. Выберем базис в V: e₁, …,e_k – базис L₁, e_k₊₁, …,e_n – базис L₂; тогда e₁, …,e_n будет базисом V. Найдем в этом базисе матрицу A_j нашего оператора j. Так как L₁и L₂ инвариантны, то j(е₁), …, j(е_k) Î L₁, а j(e_k₊₁), …, j(е_n) Î L₂, и, следовательно,

j(е₁) = e₁ + … + e_k + 0×e_k₊₁ + … + 0×e_n;

j(е₂) = e₁ + … + e_k+ 0×e_k₊₁ + … + 0×e_n;

…

j(е_k) = e₁ + … + e_k + 0×e_k₊₁ + … + 0×e_n;

j(e_k₊₁) = 0×e₁ + … + 0×e_k + e_k₊₁ + … + e_n;

…

j(e_n) = 0×e₁ + … + 0×e_k + e_k₊₁ + … + e_n.

А_j = = .

Здесь – матрица оператора j, действующего в пространстве L₁; – матрица оператора j, действующего в пространстве L₂.

Аналогично, если V = L₁Å L₂ Å … Å L_k и L₁, L₂, …, L_k – инвариантные подпространства оператора j, то

А_j = .

Здесь каждая матрица есть матрица оператора j, действующего в пространстве L_i.

Рассмотрим одномерное линейное подпространство L, инвариантное относительно оператора j, и его базисный вектор e, L = <e>. Так как j(e) Î Î L, то j(e) = λe.

Пусть x Î L и, следовательно, x = ae для некоторого скаляра (числа из основного поля) a; тогда

j(x) = j(ae) = aj(e) = λ×ae = λx.

Значит, все векторы из L умножаются на одно и то же число λ, и оператор j действует в L как гомотетия с коэффициентом λ.

Если, в частности, все <e_k> (линейные оболочки базисных векторов пространства V) суть инвариантные подпространства оператора j, то, т.к. V = <e₁> Å <e₂> Å … Å <e_n>, матрица A_j диагональна:

А_j = .

Определение.Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора j, если j(x) = λx; число λ (для данного вектора x оно определено однозначно − докажите!) называется собственным значением оператора j, соответствующим собственному вектору x.

Если x − собственный вектор оператора j, то <x> − инвариантное подпространство и оператор в нем действует как умножение на число λ − собственное значение.

Теорема 1. Множество всех собственных векторов оператора j, соответствующих одному собственному значению λ, если присоединить к нему нулевой вектор 0, является линейным подпространством, которое называется собственным подпространством оператора j и обозначается V_λ.

Доказательство. V_λ содержит нулевой вектор по определению и тем самым непусто. Пусть x, y Î V_λ. Рассмотрим вектор ax + βy и покажем, что он является собственным вектором оператора j с тем же самым собственным значением λ (либо равен 0).

Действительно, j(ax + βy) = aj(x)+ βj(y) = aλx + βλy = λ(ax + βy), т.е. вектор ax + βy Î V_λ.

Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции. Пусть k − число собственных векторов. При k = 1 x₁¹ 0. Следовательно, x₁ − линейно независимая система из одного вектора. Пусть для k векторов утверждение верно. Выведем из этого, что теорема верна для k + 1 вектора. Пусть даны собственные векторы x₁, x₂, …, x_k, x_k₊₁ с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, λ_k₊₁ и пусть выполняется соотношение

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_kx_k + a_k₊₁x_k₊₁ = 0. (1)

Требуется доказать, что все a_i = 0.

j(a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_kx_k + a_k₊₁x_k₊₁) = 0;

a₁j(x₁) + a₂j(x₂) + … + a_kj(x_k) + a_k₊₁j(x_k₊₁) = 0;

a₁λ₁x₁ + a₂λ₂x₂ + … + a_kλ_kx_k + a_k₊₁λ_k₊₁x_k₊₁ = 0. (2)

Умножим обе части равенства (1) на λ_k₊₁:

a₁λ_k₊₁x₁ + a₂λ_k₊₁x₂ + … + a_kλ_k₊₁x_k + a_k₊₁λ_k₊₁x_k₊₁ = 0. (3)

Вычитаем из равенства (3) равенство (2):

a₁(λ_k₊₁ − λ₁)x₁ + a₂(λ_k₊₁ − λ₂)x₂ + … + a_k(λ_k₊₁− λ_k)x_k = 0.

Так как x₁, x₂, …, x_k − система k собственных векторов с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, то по предположению индукции все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю, т.е. при i = 1, 2, …, k выполняются соотношения a_i(λ_k₊₁− λ_i) = 0, но тогда a_i = 0, ибо λ_k₊₁¹ λ_i.

Подставив эти a_i = 0 в равенство (1), получаем a_k₊₁x_k₊₁ = 0. Так как x_k₊₁− собственный вектор и, следовательно, ненулевой, то a_k₊₁= 0. Теорема доказана.

§8. Метод нахождения собственных векторов линейного оператора

Рассмотрим базис e₁, …,e_n пространства V и запишем вектор x и матрицу оператора j в этом базисе:

x = x₁e₁ + …+ x_ne_n = , А_j = .

Так как действие оператора j на вектор x описывается с помощью матрицы A_j следующим образом:

j(x) = А_j ,

то для собственного вектора x = оператора j, соответствующего собственному значению λ, имеем:

= λ . (1)

Умножая матрицу A_j на вектор x, получаем:

(2)

Система (2) − это система линейных уравнений для нахождения собственных векторов оператора j, соответствующих собственному значению λ. После приведения подобных членов получаем однородную систему из n уравнений с n неизвестными:

(3)

Матрица этой системы имеет вид:

= − = A_j − λE.

Элементы этой матрицы зависят от λ. Так как по определению собственный вектор x ¹ 0, то нас интересуют ненулевые решения системы (3).

Если det (A_j − λE) ¹ 0, то система (3) по теореме Крамера имеет единственное решение − нулевой вектор. Если же det (A_j − λE) = 0, то r = = rang (A_j − λE) < n и размерность подпространства решений системы (3) равна n − r > 0, т.е. имеются ненулевые решения системы (3) − собственные векторы, соответствующие собственному значению λ. Линейное подпространство решений системы (3) оказывается в этом случае собственным подпространством V_λ линейного оператора j. Оно состоит из собственных векторов, соответствующих собственному значению λ, дополненных вектором 0, и, следовательно, является инвариантным подпространством оператора j.

Рассмотрим теперь определитель матрицы A_j − λE. Это число, которое зависит от λ, т.е. det (A_j − λE) является функцией от λ. Используя определение детерминанта матрицы, легко понять, что det (A_j − λE) является многочленом степени n.

Действительно, при n = 1 det ( − λ) − многочлен первой степени. Используя формулу

det (A_j − λE) = ( − λ) − + … + (−1)ⁿ⁺¹

и рассуждая по индукции, получаем:

P(λ) = det (A_j − λE) = (−1)ⁿλⁿ + … + det A_j.

(Свободный член многочлена P(λ) равен P (0) = det A_j.) Многочлен P(λ) называется характеристическим многочленом матрицы A_j. Так как собственные векторы существуют только для тех λ, для которых det (A_j − λE) = 0, то собственные значения линейного оператора являются теми корнями уравнения P(λ) = 0, называемого характеристическим уравнением матрицы A_j, которые принадлежат полю P (R или C). Пусть λ₁, λ₂, …, λ_s − все комплексные корни характеристического уравнения (в случае поля R мы рассматриваем комплексные корни!), k₁, k₂, …, k_s − их кратности. Множество S = { , , …, } называется спектром матрицы A_j, т.е спектр матрицы A_j − множество корней характеристического уравнения с указанием их кратностей. Заметим, что k₁ + k₂ + … + k_s = n.

Таким образом, чтобы найти собственные векторы оператора j, нужно записать характеристический многочлен его матрицы и найти его корни. Если оператор j действует в линейном пространстве V над полем C, то все корни будут собственными значениями оператора j. Соответствующие собственные векторы находятся из системы (3). Таким образом, если j действует в пространстве над полем C, то у него всегда есть собственные векторы.

Если оператор j действует в линейном пространстве над полем R, то только вещественным корням характеристического многочлена соответствуют собственные векторы оператора. Следовательно, оператор, действующий в линейном пространстве над полем R, может вообще не иметь собственных векторов.

Примеры.

1. j − оператор поворота на угол a в R², a ¹ kπ;

A_j = − матрица j в базисе i, j;

P(λ) = det = (cosa − λ)² + sin²a = cos²a − − 2λcosa + λ² + sin²a = λ² − 2λcosa + 1.

D = 4cos²a − 4 = 4(cos²a − 1) < 0, и у характеристического уравнения вещественных корней нет, а, следовательно, нет и собственных векторов.

Отсутствие собственных векторов у оператора поворота вытекает также и из геометрического смысла собственного вектора. Вектор x собственный, если его образ j(x) ему коллинеарен. При повороте на угол a ¹ kπ j(x) не коллинеарен x, если x ¹ 0.

2. j – ортогональное проектирование на плоскость OXY в пространстве R³.

A_j = − матрица оператора j в базисе i, j, k;

P(λ) = det = −λ(1 − λ)²;

λ₁= 0, λ₂= 1 − корни характеристического уравнения −λ(1 − λ)²= 0; S = = {0^[1], 1^[2]} − спектр матрицы A_j. Все корни вещественны, и для каждого можно найти собственное подпространство. Пусть λ₁ = 0. Рассмотрим систему (3) с этим λ. Матрица этой системы совпадает с A_j = и имеет главный ступенчатый вид. Решения соответствующей системы − векторы вида

= = a = ak,

то есть собственные векторы, соответствующие собственному значению λ₁ = 0, − ненулевые векторы, коллинеарные вектору k. Собственное подпространство V₀ − ось OZ; dim V₀ = 1.

Для второго собственного значения λ₂ = 1 собственные векторы также находим из системы (3), матрица которой

A_j − 1×E = ,

т.е. система (3) имеет вид: x₃ = 0.

Отсутствующие неизвестные x₁, x₂ − свободные, а общее решение записывается в виде:

= = a + β =ai + βj.

Собственное подпространство V₁ − плоскость OXY; dim V₁ = 2.

Пусть V − n-мерное линейное пространство над полем P (R или C), j − линейный оператор и характеристический многочлен P(λ) имеет n различных корней в поле P; тогда спектр матрицы A_j имеет вид:

S = { , , …, }.

Пусть V, V, …, V − соответствующие собственные подпространства оператора j и e₁ Î V, e₂ Î V, …, e_n Î V − собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям; тогда по теореме 2 (§7) e₁, …,e_n линейно независимы и, следовательно, образуют базис пространства V, а все подпространства V одномерны. Запишем матрицу оператора j в этом новом базисе.

j(e₁) = λ₁e₁ = λ₁e₁ + 0×e₂ + … + 0×e_n;

j(e₂) = λ₂e₂ = 0×e₁ + λ₂e₂ + … + 0×e_n;

…

j(e_n) = λ_ne_n = 0×e₁ + 0×e₂ + … + λ_ne_n.

Получаем:

A_j = .

Матрица A_j диагональна, и на диагонали стоят соответствующие собственные значения. Вообще, если в пространстве V удается найти базис из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе будет диагональной, а на диагонали будут стоять соответствующие собственные значения оператора j.

§9. Канонический вид линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор j в пространстве V. Согласно определению (§2), матрица A_j оператора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Пусть e₁, …,e_n и f₁, …,f_n − различные базисы пространства V. Векторы f₁, …,f_n, как и все остальные векторы пространства V, имеют свои координаты в базисе e₁, …,e_n и записываются как линейные комбинации базисных векторов:

f₁ = e₁ + e₂ + … + e_n;

f₂ = e₁ + e₂ + … + e_n;

…

f_n = e₁ + e₂ + … + e_n.

Матрица P = называется матрицей перехода от базиса e₁, …,e_n к базису f₁, …,f_n. Это матрица, в столбцах которой стоят координаты векторов второго базиса в первом базисе. Столбцы матрицы P − векторы f₁, …,f_n, которые являются линейно независимыми, т.к. образуют базис. Следовательно, rang P = n, det P ¹ 0 и существует обратная матрица P⁻¹.

Рассмотрим произвольный вектор x пространства V и разложим его по базисам e₁, …,e_n и f₁, …,f_n:

x = x_ie_i = f_i.

P = ( ) − матрица перехода от первого базиса ко второму, и

f_i = e_k;

x = x_ke_k = e_k = e_k =

= e_k = ( )e_k_.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то

x₁ = + + … + ;

x₂ = + + … + ;

…

x_n = + + … + .

В матричном виде эти соотношения записываются как

= P ; (4)

= P⁻¹ . (5)

Формулы (4) и (5) называются формулами преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

Рассмотрим линейный оператор j, и пусть A_j и − матрицы этого оператора в первом и во втором базисах. Пусть x − произвольный вектор пространстваVи y = j(x); тогда в первом и во втором базисах можно записать:

= A_j ; = .

Используя формулу (4), первое из равенств запишем в виде:

P = A_jP ,

или, так как матрица P обратима, в виде:

= P⁻¹A_jP .

Отсюда получаем:

P⁻¹A_jP = .

Следовательно,

P⁻¹A_jP = . (6)

Определение. Две матрицы A и B называются подобными (A ~ B), если существует невырожденная матрица P такая, что B = P⁻¹AP.

Отношение подобия обладает следующими свойствами.

1. A ~ A, т.к. A = EAE (E⁻¹ = E).

2. Если A ~ B, то B ~ A. Действительно, из B = P⁻¹AP следует, что A = = PBP⁻¹ = (P⁻¹)⁻¹BP⁻¹.

3. Если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Действительно, B = P₁⁻¹AP₁, C = = P₂⁻¹BP₂; следовательно, C = P₂⁻¹P₁⁻¹AP₁P₂ = (P₁P₂)⁻¹AP₁P₂. Заметим, что (P₁P₂)⁻¹ = P₂⁻¹P₁⁻¹, т.к. P₁P₂×P₂⁻¹P₁⁻¹ = P₂⁻¹P₁⁻¹P₁P₂ = E.

Из этих свойств следует, что подобие является отношением эквивалентности и множество всех квадратных матриц порядка n разбивается на непересекающиеся классы подобных матриц. Среди этих классов есть такие, которые состоят только из одной матрицы. Например, классы матриц, подобных матрице E или матрице 0. (Найдите все такие классы!)

Из формулы (6) следует, что матрицы линейного оператора j в различных базисах подобны. Верно и обратное. Пусть B = P⁻¹AP, т.е. A ~ B. Рассмотрим оператор j в пространстве Rⁿ, действующий следующим образом:

j: ® A ,

т.е. оператор умножения на матрицу A. Матрица A_j этого оператора в стандартном базисе совпадает с матрицей A. (См. §2.) Рассмотрим столбцы матрицы P. Это n векторов, записанных в координатном виде в стандартном базисе, причем эти n векторов линейно независимы, т.к. существует P⁻¹. Рассмотрим новый базис p₁, p₂, …, p_n, составленный из столбцов матрицы P. Матрица перехода от стандартного базиса к базису p₁, p₂, …, p_n совпадает с матрицей P, и, следовательно, по формуле (6) = = P⁻¹A_jP = P⁻¹AP = B, то есть подобные матрицы суть матрицы одного оператора в различных базисах. Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в пространстве V (dim V = n), и классами подобных матриц порядка n.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Обозначим характеристические многочлены: P_A(λ) = det (A − λE), P_B(λ) = det (B − λE); нам дано, что A ~ B, т.е. B = = C⁻¹AC. Имеем: P_B(λ) = det (B − λE) = det (C⁻¹AC − C⁻¹(λE)C) = = det (C⁻¹(A − λE)C) = det C⁻¹×det (A − λE)×det C = det (A − λE) = P_A(λ), что и требовалось доказать.

Следствие. Спектры подобных матриц совпадают.

Из этой теоремы следует, что можно ввести понятия характеристического многочлена P_φ (λ), характеристического уравнения и спектра S_φ оператора j, вычисляя их по матрице A_j, взятой в произвольном базисе пространства V.

Определение. Оператор j называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональна.

Если A_j − матрица такого оператора в произвольном базисе, то она подобна матрице

D = ,

A_j ~ D.

Как же по матрице A_j узнать, диагонализируем ли оператор j? Мы уже знаем, что если S_φ = { , , …, }, то оператор диагонализируем. Если оператор диагонализируем, а характеристические многочлены подобных матриц равны, то

P_φ (λ) = P_D(λ) = det = (−1)ⁿ(λ − λ₁)…( λ − λ_n).

Мы видим, что характеристический многочлен диагонализируемого оператора разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле (в последнем выражении возможны повторения сомножителей). Для поля Cэто условие, как известно, выполняется всегда. Для поля Rоно означает, что все корни характеристического многочлена являются действительными числами, причем равными тем самым λ_i, которые стоят на диагонали матрицы D.

Заметим, однако, что условие принадлежности всех корней характеристического уравнения рассматриваемому полю еще не является достаточным для диагонализируемости оператора. Рассмотрим, например, матрицу порядка n: