ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ. Лекция Иррациональные неравенства. Неравенства вида

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Лекция Иррациональные неравенства

Цели урока: повторить основныепонятия, связанные с иррациональными уравнениями, неравенствами ; формирование навыков решения иррациональных уравнений, неравенств

Повторить :

1. Метод интервалов

2. Методы решения иррациональных уравнений

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д.

Однако при преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны.

1. Неравенства вида

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Метод решения:

Совместно решаем систему неравенств.

Пример 1

Решение

Сразу перейдём к равносильной системе:

Ответ.

Пример 2

Решите неравенство

Решение

Перейдём к равносильной системе:

Ответ.

2. Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Метод решения:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство

Решение

ОДЗ неравенства: x ≥ –3. 1. Если

то все эти x

ОДЗ, для которых верно x < –1, − решения. Таким образом,

− первая часть ответа. 2. Если

то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:

Получаем, что решениями являются все

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ.

Пример 4

Решите неравенство

Решение

ОДЗ данного неравенства:

Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства. 1. Если

то есть

то все такие x из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ≤ –3 − решения неравенства. 2. Если

то есть

а с учетом ОДЗ это означает, что

то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:

Уравнение имеет корни и Значит, решением неравенства являются С учётом получается, что на данном множестве решениями являются Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем