Контакты

Случайная статья

Довести, що сума однакових непарних степенів двох натуральних чисел ділиться на суму основ.

1. Довести, що сума однакових непарних степенів двох натуральних чисел ділиться на суму основ.

Розв’язання:

Нам потрібно довести, що для будь-яких натуральних , де – цілі, причому .

Використаємо метод математичної індукції.

1) Для твердження правильне:

.

2) Припустимо, що для

. Звідси .

3) Для :

.

Згідно з аксіомою індукції для будь-якого натурального

.

2. Розвязати рівняння в цілих числах .

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді: , де .

Так як і то рівняння має розв’язки в цілих числах.

Так як , то представимо , де - деякі цілі числа. Способом підбору підставимо в рівняння замість . Маємо

Нехай , тоді маємо рівняння . Частинний розв’язок , тоді загальний його розв’язок .

Отже, .

то

то

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

3. Довести, що коли функція періодична, то – раціональне число.

Розв’язання:

Нехай - періодична функція і її період. Для будь-якого дійсного значення маємо:

.

Покладемо , тоді .

Звідси , i

Значить, – раціональне.

4. Чи є число ірраціональним.

Розв’язання:

.

Отже, число не є ірраціональним.

5. Довести, що для будь-яких дійсних чисел :

.

Розв’язання:

Нехай , тоді дану рівність можна записати у вигляді:

. (1)

Якщо числа a і b одного знаку або принаймні одне з них дорівнює нулю, то . Тобто (1) правильне; якщо a і b різних знаків, то

і (1) теж правильне.

6. Вказати, яка лінія визначається рівнянням:

.

Розв’язання:

Нехай .

Тоді

.

З умови задачі слідує, що

, а це є рівняння кола з центром у точці і з радіусом .

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.