Определение предела функции. Теорема о единственности предела. Основные теоремы о пределах функций. Теорема №1.. Теорема №2.. Теорема №3.. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение№1.. Определение№2.

Определение предела функции

Пределом функции при стремящемся к называется число , к которому стремится значение самой функции при и обозначается .

Теорема о единственности предела

Если функция имеет при , стремящемся к , то этот предел единственный.

Основные теоремы о пределах функций

Теорема №1.

Если существуют пределы функции и при , то существует так же и предел их суммы, равный сумме пределов функций и при :

Теорема №2.

Если существуют пределы функции и при , то существует так же и предел их произведения, равный произведению пределов функций и при :

Теорема №3.

Если существуют пределы функции и при и предел функции отличен от нуля, то существует так же и предел отношения (дроби), равный отношению пределов функций и при :

, если .

Следствия:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

2. .

3. .

4. Если n- натуральное число, то , .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение№1.

Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение№2.

Функция называется бесконечно большой при , если или .

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Если функции и - бесконечно малые при , то их сумма при также является бесконечно малой.

2. Если функция - бесконечно малая при , а - ограниченная функция, то их произведение , есть бесконечно малая величина.

Следствие.Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

3. Если функция при имеет конечный предел , функция - бесконечно большая, то ; .

4. Если функция - бесконечно малая при , то функция - бесконечно большая, т.е. .

5. Если функция - бесконечно большая при , то функция - бесконечно малая, т.е. .

Выражения вида , , , , , , называются неопределенностями.

Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.

Неопределенность вида

Правило.Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х.

Например,

Неопределенность вида

12 Следующая ⇒