Правила дифференцирования

Тема: Основные понятия линейной алгебры и математического анализа

План занятия:

1. Матрицы. Произведение матриц. Обратная матрица

2. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера

3. Понятие предела функции.

4. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.

Вопрос 1. Матрицы. Произведение матриц. Обратная матрица

Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение.

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называетсяmn-матрицей(или просто матрицей) и записывается так:

(1)

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Матрица называется прямоугольной, если .

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.

Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если её определитель не равен нулю, и особенной (вырожденной), если её определитель равен нулю.

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Матрица A', которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Определение.Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица , произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е, .

Пример 1. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) .

Вопрос 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (2)

Числа называются коэффициентами при переменных, а -
свободными членами.

Совокупность чисел называется решением системы (2) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители ∆x₁, ∆x₂ получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

Формулы Крамера для нахождения неизвестных: .

Найти значения x₁ и x₂возможно только при условии, если .

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Вопрос 3. Понятие предела функции.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке (или при ), если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента x, отличных от , соответствующая последовательность сходится к числу A.

Символически это записывается так:

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Основные неопределённости пределов:

Для того чтобы устранить неопределённость, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Пример 1. Найти предел заданной функции:

а) б) в)

г) д)

Вопрос 4. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.

Производной функции у=ƒ(х) β точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х₀ обозначается одним из символов: ƒ'(х₀), у'|_x=xo или у'(х₀).

Правила дифференцирования

Правило 1. Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:

Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Правило 2. Если существуют производные и , то производная от суммы (разности) функций и равна сумме (разности) производных:

Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.

Правило 3.

Правило

Формулы вычисления производных функций:

Пример 2.Вычислить производную функции:

Решение:

Пример 3.Вычислить производную функции:

Пример 4.Вычислить производную функции:

Пример 5.Вычислить производную функции: