Производная сложной функции.

Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Правила и формулы вычисления производной. 1. Определение производной. Понятие производной является одним из основных математических понятий и одной из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов. Самое главное — понять смысл. Запомним определение: производная — это скорость изменения функции. На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная. Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее. Производная функции обозначается одним из символов:

. Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. 2. Физический и геометрический смысл производной. Можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная

есть скорость протекания этого процесса. Пусть

- зависимость пути от времени, тогда

. Скорость – производная пути по времени. Ускорение – производная скорости по времени, т.е.

. В этом состоит физический смысл производной. Покажем, как найти

с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции

. Возьмем на нем точку

с абсциссой

. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной. Производная функции

в точке

равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

. Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси

. Что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Мы получаем, что

. Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной. Производная функции в точке

равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной. Уравнение касательной

. 3. Правила и формулы вычисления производной функции. Нахождение производной функции связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируются с помощью ряда правил и формул. Правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю.
2. Постоянный множитель выносится за знак производной.
3. Производная суммы (разности) двух или более функций равна сумме (разности) производных этих функций.
4. Производная произведения.
5. Производная частного.

Формулы для вычисления производной:

Функция	Производная

1.Вычислите производную функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) .

2. Найти значение производной функции в точке

3. Дано: Найти .

4. Решить уравнение , если

5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

6. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

7. Решить неравенство , если , .

8. Найти , если .

9. При каких х производная функции равна нулю?

10. В какой точке угловой коэффициент касательной к графику функции равен 3?

11. В каких точках касательная к кривой параллельна прямой .

12. Составить уравнение касательной к графику к функции в точке .

4. Производная сложной функции.

Пусть и , тогда - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Получим .

Пример 1.Найти производную функции .

Решение:Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде простых

функций: , где . По правилу дифференцирования сложной функции ,получаем .

Пример 2.Найти производную функции .

Решение:Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде простых функций: , где . По правилу дифференцирования сложной функции ,получаем .