Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t). Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Пример 2.

Решение. Выполним замену (аналогично замене переменной в неопределенном интеграле): ; ; .

Введем новые переменные интегрирования. Полагая х = 0 и х = 4, подставим их в замену и получим t = 9 и t = 25. Следовательно,

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Выбор u и dv осуществляется также как и в неопределенном интеграле.

Пример 3.

Решение. Выполним замену. Положим , ; тогда , . Подставив в формулу интегрирования по частям, получим