Магнитный диполь

17. Магнитный диполь

Магнитное поле в вакууме

Подводка к решению. Принцип решения возвратного интеграла:

Подставим (2) в (1), получим:

Из всей системы токов можно выбрать элементарные трубочки.

– элемент траектории.

- векторный потенциал, создаваемый элементарным током.

Интегрируя по всем траекториям, по всем элементарным токам, получаем формулу .

Аналогично, .

Можно перейти от к :

Мы рассматриваем магнитное поле, создаваемое системой токов, но на большом расстоянии.

– разложение в ряд Тейлора.

Интеграл по замкнутой траектории равен нулю (суммируя вектора, получаем нуль) или интеграл по замкнутой траектории от полного дифференциала всегда равен нулю. В итоге :

Перейдем от к :

Вычислим :

- стоит под интегралом. Выразим его из (4):

Учитывая, что , получим:

Найдем дифференциал (дифференциал от штрихованной системы):

Выразим :

Подставим (6) в (5):

Перенеся влево, приведем подобные слагаемые, далее поделим на 2:

Подставим (7) в (a):

– интеграл от полного дифференциала всегда равен нулю.

Подставим (9) в (b):

Перейдем обратно:

- момент.

Найдем вектор магнитного поля через формулу :

– постоянный.

Зная, что , выражение (13) примет вид:

В выражении (12) раскроем двойное векторное произведение:
:

Учитывая (14) в (15):

В итоге:

Подставляя (17) в (12) и учитывая (c), получим:

В итоге находим выражение для вектора магнитного поля:

Аналогия с электричеством: выражения для совпадает по форме с выражением для . Выражение совпадает с полем электрического диполя. Силовые линии магнитного диполя идентичны силовым линиям электрического диполя.

Сила и момент сил, действующие на диполь

– сила, действующая на элемент тока

- сила, действующая на систему токов

- момент сил, действующие на систему токов

Разложение в ряд Тейлора (приближение 1-го порядка):

Подставим (19) в силу, действующую на систему токов:

Выражение встречается в градиенте:

– набла идет по нештрихованной системе, поэтому нуль.

Подставим (21) в (d):