КОЧЕТОВА ЭЛЕОНОРА ФЕДОРОВНА 12 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 17Следующая ⇒

n→ ∞

Если соблюдены все четыре свойства в ряде ошибок, то говорят о «нормальном распределении».

5) Если

∆₁ ∆_n - 1-й ряд измерений

∆₁' ∆_n' – 2-ой ряд измерений,

то 4-ое свойство распространяется и на сумму попарных произведений, то есть

n→ ∞

13.2. Средняя квадратическая, предельная и относительная ошибки

Для суждения о степени точности ряда измерений нужно иметь среднее значение ошибки. Среднее арифметическое из измерений нельзя брать, так как из-за разных знаков ряд с отдельными крупными ошибками может оказаться точнее ряда с меньшими ошибками:

25,5; 24,5; 25,0 – m_ср.=0 Х=25м

25,04; 24,97; 25,04 – m_ср.=0,02 м

Если взять ошибки по абсолютной величине, то два ряда измерений с одинаковыми по абсолютной величине средними ошибками могут быть ошибочно приняты равноточными и наличие крупных ошибок не будет отражено:

Поэтому в качестве критерия для оценки точности ряда измерений используют не зависящую от знаков отдельных ошибок и рельефно показывающую наличие крупных ошибок среднюю квадратическую ошибку. Квадрат этой ошибки принимают равным среднему арифметическому из квадратов отдельных случайных ошибок, то есть

- формула Гаусса

По теории вероятностей подсчитано, что при большом количестве измерений случайная ошибка одного измерения превосходит m

∆>1m – в 32 случаях из 100 измерений

∆>2m – в 5 случаях из 100 измерений

∆>3m – в 3 случаях из 1000 измерений.

Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку считают предельной

∆_lim=3m.

Часто точность произведенных измерений лучше оценивается относительной ошибкой, то есть отношением абсолютной ошибки к измеряемой величине, выражаемой правильной дробью с числителем, равным 1. Эта ошибка характеризует в основном линейные измерения и измерения площади участков. Например, в замкнутом полигоне теодолитного хода линейные измерения оцениваются относительной ошибкой ; где - абсолютная ошибка, Р – периметр полигона.

13.3. Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин

а) Функция вида z=x+y (суммы ) m_z=?

Дано: х – измерено несколько раз с ошибками ∆х₁; ∆х₂,… ∆х_n

у – измерено несколько раз с ошибками ∆у₁, ∆у₂,… ∆у_n

z – будет вычислено несколько раз с ошибками ∆z₁, ∆z₂,… ∆z_n.

, отсюда уравнения ошибок будут:

Возведем эти равенства в квадрат, сложим, суммы разделим на n и преобразуем.

Запишем с учетом обозначения суммы

0 по 4-ому свойству случайных погрешностей.

или

Эта же формула справедлива для функции вида z=x-y, так как после выше приведенных рассуждений перед последним членом будет знак (-). Но он все равно стремится к нулю.

Поэтому можно сделать вывод, что квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы двух аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.

Если m_х=m_у=m, то m_z=± .

Пусть , перепишем . Тогда можно записать:

, но , поэтому

Если , то при n слагаемых

, то есть квадрат средней квадратической ошибки суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.

Средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы измеренных с одинаковой точностью величин в раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.

б) Функция вида (произведения).

k – постоянное число безошибочное.

х – измерено несколько раз с ошибками ∆х₁, ∆х₂,… ∆х_n.

z – будет вычислено несколько раз с ошибками ∆z₁, ∆z₂,…, ∆z_n.

отсюда

Возведем равенства в квадрат, сложим и разделим на n

или ;

или ,

то есть средняя квадратическая ошибка произведения постоянного числа на аргумент равна произведению постоянного числа на среднюю квадратическую ошибку аргумента (измеряемой величины).

в) Функция общего вида

Пусть аргументы измерены с ошибками ∆x₁, ∆x₂,…; ∆y₁, ∆y₂,…; ∆w₁, ∆w₂…

Тогда

Так как ошибки ∆x, ∆y, ∆w малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись членами первой степени:

Отсюда составим систему уравнений случайных ошибок:

Но ∆x, ∆y…имеют бесконечное число измерений каждая и характеризуются средними квадратическими ошибками. Поэтому можно составить бесконечное число уравнений, аналогичных выше приведенному:

Возведем равенства в квадрат, сложим и разделим на n.

0 n→∞

Отсюда

→

Квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.

13.4. Арифметическая середина и ее свойства

Пусть ℓ₁, ℓ₂,… ℓ_n – ряд измерений некоторой величины Х. За наилучшее приближение к значению неизвестной величины принимают арифметическую середину ℓ₀, то есть среднее арифметическое значение:

Арифметическая середина обладает рядом свойств, из которых можно выделить следующие:

1-е свойство: при неограниченном увеличении числа измерений n арифметическая середина ℓ₀ стремится к истинному значению Х, то есть является наиболее вероятнейшим значением измеряемой величины.

+ просуммируем уравнения и разделим на n

..................

│ 0=ℓ₀-Х.

↓

0 по свойству компенсации

Поэтому ,

2-е свойство: сумма отклонений δ_i измеренных значений ℓ_i от арифметической середины ℓ₀ тождественно равна нулю.

+ Это вероятнейшие случайные ошибки.

но поэтому

3-е свойство: средняя квадратическая ошибка М арифметической середины в раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения m.

Рассматривая эту формулу как функцию общего вида, найдем:

Так как измерения равноточные и

то

13.5. Оценка точности ряда измерений по вероятнейшим ошибкам

Истинные случайные ошибки ∆ обычно остаются неизвестны. Поэтому для оценки точности используют вероятнейшие ошибки, то есть отклонения отдельных результатов измерений от арифметической середины.

Составим уравнения истинных и вероятнейших случайных ошибок:

Ур-я ист. сл. ош. Ур-я вероятн. сл. ош.

▬ , где

ℓ_i – измеренные значения; ℓ - истинное значение; ℓ₀ – арифметическая середина.

Из первой системы вычтем вторую:

- представляет собой слу-

чайную ошибку арифметической середины.

Перепишем равенства:

₂

+ Возведем равенства в квадрат и сложим их:

0 по второму свойству арифметической середины.

Разделив на n полученное равенство, имеем

Учтем, что Тогда

Специальная часть

14. Задачи инженерной геодезии в строительстве

Промышленное и жилищное строительство, реконструкция и благоустройство промышленных предприятий и населенных мест осуществляется по следующим стадиям.

1. Изыскания.

2. Проектирование

3. Строительство.

4. Эксплуатация сооружения.

На стадии изысканий геодезические работы заключаются в получении планов или карт территории строительства путем топографических съемок местности различными способами. Задача – дать качественную топографическую основу для проектирования строительства.

Геодезическими работами на стадии проектирования являются: вертикальная планировка территории горизонтальной или вертикальной плоскостями под строительство какого – либо сооружения, построение продольного профиля трассы и поперечных профилей при проектировании сооружений линейного типа, подготовка разбивочных данных для выноса проекта сооружения на местность и т.д. Все материалы проекта планировки оформляются графически на топографической основе в масштабах 1:5000 – 1:10000. К проекту прилагается пояснительная записка.

При строительстве крупных и сложных объектов составляются генеральные планы на каждый отдельный элемент: генеральный план благоустройства, генеральный план подземных сооружений и т.д. Генеральным планом строительного объекта называют основной чертеж (масштаб 1:500, 1: 2000), представляющий собой изображение на бумаге границ объекта, всех зданий, подземных, наземных и воздушных сооружений и устройств, составляющих комплекс проектируемого объекта, проектируемого озеленения и сохраняющейся существующей растительности, проектируемого вновь и сохраняющегося естественного рельефа. Он является неотъемлемой частью стадий проектирования и строительства, отражает сущность проекта и является основой для воплощения последнего в натуре.

При составлении генеральных планов производится увязка существующих и проектируемых объектов в смысле их правильного размещения друг относительно друга в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Все работы, связанные с выявлением наиболее рационального расположения проектируемых объектов, их взаимной ориентировкой в горизонтальной плоскости, отвода под застройку участка определенных размеров, называют горизонтальной планировкой. В отличие от нее вертикальная планировка есть размещение элементов строительного объекта по высоте. Горизонтальная планировка всегда предшествует вертикальной, но неразрывно связана с ней. Расчет горизонтальной планировки может вестись либо графоаналитическим способом (при отсутствии существующих капитальных сооружений), либо аналитическим. В последнем случае относительно зданий и сооружений, положение которых в процессе планировки площадки не изменяется, аналитически рассчитывается положение красных линий. Красной линией застройки называется граница между улицей и кварталом. Параллельно красной линии на расстоянии 6 метров – для магистральных улиц и 3 метра для жилых улиц, располагается линия регулирования застройки, за пределы которой не должны выступать здания и сооружения. Промежуток между красной линией и линией регулирования застройки используется для озеленения и прокладки подземных инженерных сетей. В стесненных условиях эти линии совмещают.

В натуре красные линии закрепляются знаками, на которые передаются координаты и абсолютная отметка. В последствии эти знаки используются для выноса сооружения в натуру.

Все здания и сооружения на генеральном плане, а затем и в натуре, задаются характерными линиями, называемыми осями. Различают три вида осей: главные, основные и дополнительные (см. рис. 79).

О₁Г₂О₂

О₄О₄

Д₁Д₁

Г₁Г₁

Д₂Д₂

О₃О₃

О₁Г₂О₂

главные оси

основные оси

дополнительные оси

Рис. 79

Главные оси – это взаимно перпендикулярные прямые линии, относительно которых здание или сооружение располагается в основном симметрично. Основные оси – это прямые линии, образующие внешний контур здания или сооружения в плане. Это самый распространенный в строительстве вид осей. Взаимное расположение главных и основных осей должно быть определено с высокой точностью, так как они служат основой детальной разбивки всего сооружения. Дополнительные оси – это прямые линии, образующие очертания частей и элементов зданий и сооружений, оси фундаментов технологического оборудования и др.

При выносе осей в натуру соблюдается основной принцип геодезических работ – переход от общего к частному. Разбиваются сначала главные и основные оси, затем дополнительные, и только потом разбиваются запроектированное здание или сооружение.

Подготовка разбивочных данных для выноса проекта сооружения в натуру может быть выполнена одним из трех способов: аналитическим, графическим и графо – аналитическим. Рассмотрим графо – аналитический способ.

Пусть требуется подготовить разбивочные данные для выноса в натуру точки А проектного сооружения. Вначале определяют графически на генеральном плане координаты точки А с учетом деформации бумаги.

Фрагмент генерального плана

у_i у_i+1

х_i+1 х_i+1

с е

α_МN в

α_МА β_М β_N α_N _М α_NА

х_i М N х_i

у_i у_i+1

1:1000

В 1 сантиметре 10 метров

Рис. 80

Измеряют в сантиметрах расстояния а, в, с, е – от точки до линий сетки. Затем выражают их в метрах в масштабе плана и подставляют в формулы.

х_а=х_i +а ;

у_а=у_i+ .

Координаты двух пунктов М и N строительной сетки берут в качестве исходных, и решают обратные геодезические задачи для направлений МА, NА, МN. В результате решения получают длины (горизонтальные проложения этих направлений) и их дирекционные углы – α.. Затем по разностям дирекционных углов вычисляют разбивочные углы β_М и β_N.

β_М= α_МN- α_МА;

β_N= α_NА- α_NМ.

Составляют разбивочный чертеж в масштабе плана. На нем подписывают все значения линейных и угловых разбивочных данных для вынесения проекта на местность разными способами – прямоугольных координат, линейных и угловых засечек, полярных координат.

Подготовка разбивочных данных аналитическим способом аналогична предыдущему, отличается тем, что все исходные данные (в том числе проектные координаты) имеются в проекте. При подготовке графическим способом все разбивочные данные получают графически с плана. Погрешность линейных измерений составляет при этом 0,2 мм в масштабе плана, а угловых 20'.

Стадия строительства включает:

· Подготовительный период – геодезические работы обеспечивают правильное расположение на территории строительства мест складирования стройматериалов и элементов конструкций, временных сетей водопровода, освещения и т.д.

· Начальный период (нулевой цикл) – заключается в перенесении осей сооружения в натуру, контроль за возведением подземной части.

· Период строительства – контроль за соблюдением геометрических форм сооружения, предусмотренных проектом.

· Завершающий период – исполнительные съемки.

Геодезические работы начинают с выноса проекта сооружения в натуру, то есть на местность. Такие работы называют разбивочными.

14.1. Способы перенесения проектных углов, точек, линий и плоскостей с плана на местность

Всякое строящееся здание или сооружение характеризуется определенными углами, точками, линиями и плоскостями, которые должны занимать в пространстве строго определенное положение. Определить положение этих элементов можно иногда путем обозначения их на местности. Поэтому знание способов переноса проектных элементов в натуру весьма важно.

14.1.1. Построение на местности угла заданной величины

Построение угла заданной величины производится относительно линии между пунктами геодезической сети (строительной сетки) или съемочного обоснования, например А и В на рисунке 81. В практике встречаются два случая: когда точность построения угла не превышает точности отсчетного устройства угломерного прибора и когда требуется построить на местности угол с точностью, превышающей точность отсчитывания.

В первом случае работы производятся в следующем порядке:

1. Устанавливают теодолит над точкой, которая является вершиной угла, и приводят его в рабочее положение.

2. При закрепленном лимбе горизонтального круга вращением алидады наводят зрительную трубу теодолита на вторую исходную точку (В) (при построении угла против часовой стрелки) или на точку (А) (при построении против часовой стрелки). Берут отсчет по лимбу горизонтального круга.

3. Вычисляют отсчет: складывают взятый отсчет со значением проектного угла, если угол строят по ходу часовой стрелки; вычитают проектный угол из взятого отсчета, если строят последний против хода часовой стрелки.

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒